Ist diese Reihe konvergent? (mit Fakultät)

Question

Text erkannt:

(c) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k !}{k^{k}}$

Ist diese Reihe konvergent?

Answer 1

k^k wächst schneller als k!

Die Summe hat einen Grenzwert.

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+k%21%2Fk%5Ek+from+1+to+infi…

Comments

k^k wächst schneller als k!

Das reicht nicht als Argument: Im Falle 1/k wächst k schneller als 1, die Reihe ist jedoch divergent.

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1 wächst doch nicht, sondern ist konstant.

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Dann $\sqrt{k}/k^{3/2}$

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Das ist doch 1/k.

Wo ist da ein Unterschied?

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In dieser Version wächst auch der Zähler.

Mir geht es nur darum, dass ich ein pauschales "schneller wachsen" für nicht beweiskräftig halte.

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1 wächst doch nicht, sondern ist konstant.

Alles, was wächst, wächst schneller als etwas, das nicht wächst.

Answer 2

Quotientenkriterium:

a(k+1)/a(k) = (k+1)! / (k+1)^(k+1) / (k!/k^k)

= (k+1)! * k^k / ( (k+1)^(k+1) * k!)

= (k+1) * k^k / (k+1)^(k+1)

= k^k / (k+1)^k

= (k/(k+1))^k

= (1/(1+1/k))^k

= 1/(1+1/k)^k

und für k nach unendlich wäre es

1/e und somit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium.

(keine Gewähr)

Answer 3

Aloha :)

Als Entscheidungskriterium für die Konvergenz bietet sich hier das Quotienten-Kriterium an:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}}\right|=\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}\cdot\frac{k^k}{k!}=\frac{(k+1)!}{k!}\cdot\frac{k^k}{(k+1)^{k\pink{+1}}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=\frac{(k+1)!}{k!\cdot\pink{(k+1)}}\cdot\frac{k^k}{(k+1)^k}=\frac{(k+1)!}{(k+1)!}\cdot\frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}}=1\cdot\frac{1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k}}=\frac{1}{\left(1+\frac1k\right)^k}\to\frac 1e<1$$Die Reihe konvergiert daher absolut.