Aufgabe:
Sei Pol(ℝ) ⊂ Abb(ℝ,ℝ) der Raum der Polynomfunktionen und
\( \operatorname{Pol}_{n}(\mathbb{R})=\left\{f \in \operatorname{Pol}(\mathbb{R}): f(t)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} t^{k}\right. \) für \( \left.a_{0}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}\right\} \)
der Raum der Polynomfunktionen vom Grad höchstens n ∈ ℕ0.
Zeigen Sie:
(a)
Ist t0 eine Nullstelle von f ∈ Poln+1(ℝ), dann existiert g ∈ Poln(ℝ) mit der Eigenschaft dass f(t) = (t − t0)g(t) für alle t ∈ ℝ.
Hinweis. Führen Sie dies durch eine geeignete Substitution auf den Fall t0 = 0 zurück.
(b)
Hat f ∈ Poln(ℝ) mindestens n + 1 paarweise verschiedene Nullstellen, dann gilt f = 0.
Hinweis. Vollständige Induktion nach n ∈ N0.
(c)
Die Monome fk(t) = tk für k ∈ ℕ0 sind linear unabhängig in Abb(ℝ, ℝ).
Schließen Sie, dass die Abbildung
\( \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad\left(a_{0}, \ldots, a_{n}\right) \mapsto f(t)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} t^{k} \)
injektiv ist für alle n ∈ ℕ0. Zeigen Sie, dass die entsprechende Aussage für endliche Körper im Allgemeinen nicht richtig ist.
Problem/Ansatz:
