Hom_ℝ(ℝ^3, ℝ) für i=1,2,3 bestimmen und Abb finden

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Vektoren in \( \mathbb{R}^{3} \) :
\(\mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\1 \\0\end{array}\right), \mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\-1 \\0\end{array}\right), \mathbf{v}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\1 \\1\end{array}\right) .\)

Es sei \( U_{i}=\left\langle\mathbf{v}_{i}\right\rangle \) für \( i=1,2,3 \).
1. Bestimmen Sie \( U_{i}^{\perp} \subseteq \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right) \) für \( i=1,2,3 \).
2. Finden Sie eine Abbildung \( f \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}\right) \) sodass \( f\left(\mathbf{v}_{1}\right)=1, f\left(\mathbf{v}_{2}\right)=f\left(\mathbf{v}_{3}\right)=0 \). Schreiben Sie \( f \) als \( 1 \times 3 \)-Matrix (Zeilenvektor) bezüglich der Standardbasis.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht was Hom heißt und wieso da eine lineare Hülle vorkommt. Auch verstehe ich nicht, was überhaupt von mir verlangt wird. Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

1.

Du suchst die Orthogonalräume der Vektoren v1 bis v3. Das heißt eine Basis aller Vektoren, die zum gegebenen Vektor orthogonal sind.

$$ U_{1}^{\perp} = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$

$$ U_{2}^{\perp} = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$

$$ U_{3}^{\perp} = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $$

Comments

Danke dir! Ist das richtig so wie ich es letztendlich verstanden und hingeschrieben hab?

Text erkannt:

Aufgabe 1
\( \begin{array}{l} u^{2}=\left\{\ell \in V^{*}:((u))=0 \forall u \in U\right\} \\ f\left(v_{i}\right)=0 \quad f(x)=w \cdot v \text { für alle } x \in \mathbb{R}^{3} \\ f\left(v_{i}\right)=0 \Leftrightarrow w \cdot v_{i}=0 \text { Rremerudur } \end{array} \)
guact Baris aller Vectheen, die rum gey. Vethor athogomal sind.
(1) \( U_{1}^{\perp}: v_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
Für \( \omega=\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right) \in U_{1}^{\perp} \) muss gelhen:
\( \begin{array}{l} w \cdot v_{n}=0 \\ \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=2 a+b=0 \\ \left(\begin{array}{c} a \\ -2 a \\ c \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=2 a-2 a=0 \quad a b s: \\ U_{1}^{\perp}=\left\{\left(\begin{array}{c} a \\ -2 a \\ c \end{array}\right) ; a, c \in \mathbb{R}\right\} \\ \text { Bamin } U_{1}^{\perp}=\operatorname{gan}\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ -2 \\ a \end{array}\right),\binom{0}{1}\right\} \end{array} \)
(2) \( U_{2}^{\perp}: v_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} w \cdot v_{2}=0 \\ \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \cdot\binom{1}{a}=a-b=0 \\ \rightarrow\binom{a}{a},\left(\begin{array}{l} 1 \\ a \\ a \end{array}\right)=a-a=0 \\ \left.u_{2}^{+}=\left\{\begin{array}{l} a \\ a \end{array}\right): a, c \in \mathbb{R}\right\} \end{array} \)

Daris \( U_{2}^{*}: \operatorname{sen}\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)\right\} \)
这
\( \begin{array}{l} u_{3}^{1}: v_{3}=\binom{0}{1} \\ \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=b+c=0 \\ \rightarrow\left(\begin{array}{l} a \\ 0 \\ -6 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=b-b=0 \\ u_{3}^{-}=\left\{\binom{a}{-b}: a, b \in R\right\} \end{array} \)

Dasis \( U_{3}^{2}: \operatorname{yan}\left\{\left(\binom{0}{1},\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right\}\right. \)

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Danke dir! Ist das richtig so wie ich es letztendlich verstanden und hingeschrieben hab?

Ja. Das kannst du so hinschreiben. Und ich denke 2. ist auch nicht so schwierig.

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Text erkannt:

Auppobe 1.2
\( \left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} v_{3} \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) /\left(\begin{array}{c} v_{2} \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} v_{3}\right. \text { upl } \)

Gegeten sei folgende Mahis:
\( \begin{array}{l} f=\left(\begin{array}{lll} -a & -a & a \end{array}\right) \text { woli } a \in \mathbb{R} \\ \left(\begin{array}{lll} -a & -a & a \end{array} \cdot \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)=(-a+a)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) r\right. \\ \left(-a-a \quad a \left\lvert\, \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)=(-a+a)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) v\right.\right. \\ \text { z: } f\left(v_{1}\right)=1 \\ \left(-a-a \quad a \left\lvert\, \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right.\right. \\ \text { Sei } a=-\frac{1}{3}: \\ \left(-\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{-3}\right) \frac{1}{3}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)=1 \end{array} \)

Die gesuctse Matix fo laulet alro:
\( f=\left(\begin{array}{lll} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right) \)

So habe ich die 2 gelöst, einfach stumpf lgs gelöst und überprüft ob es klappt. Ist das formal richtig aufgeschrieben oder muss ich es anders aufschreiben? Diese Aufgabe wird bei mir bewertet, deswegen frage ich zur mal Sicherheit.

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Du suchst eine Matrix, welche folgende Bedingungen erfüllt:

[a, b, c]·[2, 1, 0] = 1
[a, b, c]·[1, -1, 0] = 0
[a, b, c]·[0, 1, 1] = 0

Das ergibt das LGS

2·a + b = 1
a - b = 0
b + c = 0

Und damit die Lösung

a = 1/3 ∧ b = 1/3 ∧ c = - 1/3

Bei dir finde ich bereits gewöhnungsbedürftig das du gleich mit einer Matrix [-a, -a, a] beginnst. Das ergibt sich doch anhand der Bedingungen nachher automatisch.

Answer 2

\(\operatorname{Hom}_K(V,W)\) ist die Menge der Homomorphismen vom \(K\)-Vektorraum \(V\) in den \(K\)-Vektorraum \(W\).

Comments

Eine lineare Abbildung (auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper. Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich, ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet. Gleiches gilt für die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundkörper.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

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Ok danke euch und wie mache ich weiter?