Ich habe hier ein Problem mit der Umformung von der Musterlösung:
A und B seien Mengen. Zeigen Sie, dass gilt: (B \ A) ∪ A = A ∪ B. Das ist ja auch klar und macht sofort Sinn, aber der folgende Beweis bereitet mir Probleme.
Beweis: x sei ein beliebiges Element, dann gilt:
x ∈ (B \ A) ∪ A
⇔ (x ∈ B ∧ x ∉ A) ∨ x ∈ A (Dies verstehe ich noch)
⇔ (x ∈ B ∨ x ∈ A) ∧ (x ∉ A ∨ x ∈ A) (Diesen Schritt verstehe ich auch noch, Distributivität)
⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A
Aber beim letzten Schritt habe ich ein Problem, wenn ich nun die vorletzte Zeile nehme:
(x ∈ B ∨ x ∈ A) ∧ (x ∉ A ∨ x ∈ A)
Das bedeutet ja an sich:
(Elemente aus A oder B) ∧ (Elemente aus A)
Und somit bleiben am Ende ja nur Elemente aus der Menge A übrig und nicht aus B oder A (x ∈ B ∨ x ∈ A) wie es die letzte Zeile sagt.
Was habe ich hier verpasst?
Edit: Ich glaube ich habe mein Problem gefunden. Wenn man sagt x ∉ A, ist dann jedes beliebige Objekt gemeint, was nicht in A ist? Ich hatte einfach gedacht das x sogesehen nicht existiert. Also wäre der Ausdruck (x ∉ A ∨ x ∈ A) dann jedes beliebige Objekt x, was überhaupt existiert, weil ja jedes Element entweder in A sein muss, oder eben nicht?
