Kurvendisskussion von e funktionen mit Brüchen

Question

Aufgabe:

F(x)= 1/1+e^-x

f(x)= F'(x)

Untersuche auf Extrema, WP und skizzieren qnhand deiner gewonnenes Wissen über die Kurve.

f(x)= e^-x/(1+e^-x)²

f'(x)=  e^-2x-e^-x /(1+e^-x)³

f''(x) = e^-3x - 2e^-2x + e^-x / (1+e^-x)^4

Problem/Ansatz:

Hallo, ich lerne gerade dür meine Klausur morgen und bin bei dieser Aufgabe angekommen und weiß nicht wirklich wie man so mit Brüchen + e funktion usw. die Nullstellen rechnen kann.

Kann mir da bitte jemand helfen und erklären wie das geht?

Danke schonmal im Voraus:)

ich habe auch Probleme beim Skizzieren von dem Angaben, wenn jemand weiß wie man da genau schritt für schritt vorgeht wäre es echt nett

Answer 1

\( F(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^{x}}}=\frac{e^{x}}{e^{x}+1} \)
1.Ableitung: \( \frac{e^{x} \cdot\left(e^{x}+1\right)-e^{x} \cdot e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}=\frac{e^{x} \cdot e^{x}+e^{x}-e^{x} \cdot e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} \) \( \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}=0 \rightarrow \rightarrow e^{x} \) kann nicht 0 werden, darum kein Extremwert.

2.Ableitung: \( \frac{e^{x} \cdot\left(e^{x}+1\right)^{2}-e^{x} \cdot 2 \cdot\left(e^{x}+1\right) \cdot e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{4}} \)

2.Ableitung: \( \frac{e^{x} \cdot\left(e^{x}+1\right)-e^{x} \cdot 2 \cdot e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{3}}=\frac{e^{2 x}+e^{x}-2 e^{2 x}}{\left(e^{x}+1\right)^{3}}=\frac{e^{x}-e^{2 x}}{\left(e^{x}+1\right)^{3}} \)
\( \begin{array}{l} e^{x}-e^{2 x}=0 \\ e^{x} \cdot\left(1-e^{x}\right)=0 \\ e^{x}=1 \end{array} \)
\( x=0 \rightarrow \rightarrow F(0)=\frac{e^{0}}{e^{0}+1}=\frac{1}{2} \)

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{e^x+1}=1 \)

Comments

Hi, danke erstmals für deine Antwort, aber warum hast du nicht mit den da oben angegebenen Ableitungen nicht gerechnet?

Weil ich immer so ableite und auch in der Klausur, da ich das so gelernt habe.

Es muss f(x) untersucht werden, nicht F(x) :)