Kurvendisskussion (Nullstellen etc.)

Question

Hi, könnte mir mal jemand die zwei Beispiele vorrechnen ? Damit ich es mir anschauen kann bzw. den Verlauf verstehen.

Ich komme mit ''einfachen'' Funktionen ganz gut klar, nur habe ich Probleme wenn Brüche und Funktionen dritten Grades auftauchen, wo ich keine pq-Formel und auch nichts herausheben kann.

Dann muss ich doch sowieso immer eine Nullstelle erraten oder? Gibt es da irgendwelche Eselsbrücken oder Tricks ?

Und weiß jemand wie ich mit meinem Texas TI 82 STATS Taschenrechner eine Wertetabelle erstellen kann (habe gehört damit ist es auch einfach die Nullstelle zu finden, keine Ahnung wie es gehen soll )

Ist alles noch ein ''Neuland'' für mich ^^

Und noch was bei einem Bsp wo:

f (x) = 2x³-6x²+6x

f ' (x) = 6x²-12x+6 ist, kriege ich ein Extrempunkt raus, aber in den Lösungen steht es gibt keinen ?

Und wie immer vielen vielen Dank!

Comments

f ' (x) = 6x²-12x+6 ist, kriege ich ein Extrempunkt raus,
aber in den Lösungen steht es gibt keinen ?
x = 1

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Also gibt es tatsächlich ein Extrempunkt, weil in der Lösung steht davon nichts :D

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Raten und probieren ist zunächst angesagt dann Polynomdivisionen

Kann der Texas TI 82 STATS Taschenrechner plotten ?

~plot~ x^3 / 8 - 3*x / 2 + 2 ~plot~

Es kann auch sein das die Ergebnisse keine ganzen Zahlen sind.
Dann muß ein Näherungsverfahren z.B. Newton verwendet werdebn.

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Ich weiß gerade nicht was du mit ''plotten'' meinst, aber ich kann die Funktion zeichnen lassen und auch eine Nullstelle ausrechnen, allerdings habe ich irgendwie Probleme die ''zweite'' Nullstelle auszurechnen, die bei x=2 weil mein TS zeigt eigentlich an das die Nullstelle im Ursprung liegt.

Muss ich eigentlich beide erraten ? Oder reicht es wenn ich eine Nullstelle herausfinde? (allerdings weiß ich nicht ob ich bei den Arbeiten auch so vorgehen darf)

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Hmm, kubische Gleichungen der Form ax³+bx+c=0 kann ich jetzt nicht algebraisch lösen. Es gibt numerische Verfahren, wenn man nicht graphisch gucken oder raten will, weiß nicht, ob dir das genügt. Wegen der Brüche musst du dir keine Sorgen machen, wenn du sowas wie x/4 hast, ist das auch nicht anderes als 1/4 x bzw. 0,25 x, sprich es ist nur ein Koeffizient. Richtige Bruchgleichungen hast du erst, wenn x im Nenner steht.

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" to plot " kommt galube ich aus dem Englischen und heißt " zeichnen ".
siehe meinen Graph oben.

Der Graf oben zeigt u.a. die Nullstelle x  = 2

Mit der Nullstelle ( x - 2 )  läßt sich eine Polynomdisision duchführen

pq-Formel für die quadratische Funktion anwenden
ergibt insgesamt
x = 2
x = 2
x = -4

x = 2 ist ein Berührpunkt.

Muss ich eigentlich beide erraten ? Oder reicht es wenn ich eine Nullstelle herausfinde?
(allerdings weiß ich nicht ob ich bei den Arbeiten auch so vorgehen darf)

Raten und probieren ist sicherlich erlaubt.

Du kannst auch eine Wertetabelle berechnen und dann versuchen herauszufinden
wo der Funktionswert von positiv nach negativ wechselt.
Dazwischen ist ein Nullpunkt.

Wenn du einen graphikfähigen Taschenrechner bei Arbeiten verwenden darfst
kannst du auch die Graphikfähigkeit nutzen.

Ansonsten : frag deinen Lehrer.

mfg Georg

Answer 1

Es gibt bei Funktionen höheren Grades oft Tricks, wie man es auf ein einfacheres Problem reduzieren kann.
Betrachten wir dein Beispiel:

f (x) = 2x³-6x²+6x

Hier ist es Möglich x auszuklammern

f (x) = x ( 2x²-6x+6 )

Wir haben den Wert der Gleichung nicht verändert, die Gleichung wurde nur umgeformt. Nun ist es aber Möglich die Regel des Nullprodukts anzuwenden.

Wenn
a*b = 0
dann folgt daraus
a = 0 oder b = 0

Bei unserer umgeformten Gleichung haben wir auch ein Produkt, x und die Klammer. Wenn also einer der beiden Faktoren 0 ist, ist die ganze Funktion 0, dann 0*a = 0. Wann ist der Faktor x gleich 0? Wenn wir x=0 setzen. Also ist eine Nullstelle bei x=0. Wenn du dir deine Ausgangsfunktion ansiehst, stellst du fest, dass du überall ein x als Faktor hast und wenn jedes x=0 ist, dann sind alle Terme 0.

Nun musst du auch den anderen Faktor betrachten, also die Klammer. Auch wenn diese 0 ist, ist alles 0, sprich man sucht nun die Nullstelle der Funktion, die in Klammern steht. Dafür kennst du ja die pq-Formel. Denke aber daran, dass du die Gleichung noch teilen müsst, damit x² keinen Koeffizienten mehr hat.

Comments

Eben mit sowas komme ich ja ganz gut zurecht, nur habe ich Probleme, wo man nichts umformen kann und auch Brüche enthalten sind, wie die 2 Beispiele aufm Foto.

Wenn man keine pq-Formel benutzen kann und das x auch nicht ausklammern, dann tuh ich mir schwer

Answer 2

Hi,

1. Man versucht eine Nullstelle zu erraten (hierfür stehen immer die Teiler des Konstantteils in Verdacht) in deinem Beispiel:

f(x)=x^3/8+3/2x^2+2=0

0=x^3+12x^2+16

T(16)={-16,-8,-4,-2,-1,1,2,4,8,16}

Kann man je nach Laune also alle ausprobieren ^^ (oder durch geschicktes überlegen sinnvolle daraus auswählen)

In diesem Fall sind die Nullstelle -4, 2 und nochmals 2.

2. Wenn das nicht zum Ergebnis führte ist mindestens eine der Nullstelle eine gebrochene oder gar reell Zahl. Hier bietet sich nun ein numerisches Lösungsverfahren wie das Newton-Verfahren an (Anschließend auf Basis dieser Näherung eventuell weiterraten, man hat dann aber schonmal eine Größenordnung in der sich die Nullstelle befindet). Oder man lernt die x-seitigen Lösungsformeln für kubische Gleichungen ^^

3. Hast Du erstmal eine Nullstelle gefunden: Polynomdivision. Im obigen Beispiel erhält man nach der PD ein polynom 2. Grades und das lässt sich leicht lösen.

4. Der Graph hat übrigens keinen Extrempunkt. Zwar ist f'(1)=0 aber f''(1)=0 die zweite Ableitung auch. Folglich ist es ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt ;)

Gruß

Comments

Für x^3 / 8 - 3*x / 2 + 2 sehe ich 2 Extrempunkte.
Oder was meinst du ?

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Er meint wahrscheinlich f ' (x) = 6x2-12x+6

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Ja genau,

Punkt 3 bezieht sich auf f (x) = 2x³-6x²+6x

Gruß