Untervektorräume des R^3

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob folgende Mengen Untervektorräume des ℝ³  sind. Wenn ja, geben Sie ein minimales
Erzeugendensystem an:

a) U₁ = {\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ∈ ℝ³ : c = 0 }

b) U₂ = {\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) ∈ ℝ³  : c = 2 }

c) U₃ = {\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)  ∈ ℝ³ : a - b + c = 0 }

Problem/Ansatz:

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Herangehensweise beispielhaft zeigen könnte zur Bearbeitung der Aufgaben. Minimales Erzeugendensystem angeben ist dann gemeint eine Basis angeben?

Answer 1

a)  Die Elemente sehen so aus \( \begin{pmatrix} a\\b\\0 \end{pmatrix} \)

Wenn du 2 davon addierst oder eines mit einer Zahl x∈ℝ

multiplizierst, gibt es wieder einen von dieser Sorte.

Außerdem ist der 0_Vektor in der Menge und zu jedem Vektor

auch der negative. Also Unterraum.

Bei b) ist es nicht so, bei c) aber doch.

Minimales Erzeugendensystem angeben ist dann gemeint eine Basis angeben? JA!