Im DMy Aufgabe:
Problem/Ansatz:
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Hausaufgabe \( 6.2 \) (4 Punkte)
Es seien
\( \vec{n}=\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \text { mit } a=1 / 2=-b, c=1 / \sqrt{2} \text { und } M=E_{3}-2 \vec{n} \vec{n}^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1-2 a^{2} & -2 a b & -2 a c \\ -2 a b & 1-2 b^{2} & -2 b c \\ -2 a c & -2 b c & 1-2 c^{2} \end{array}\right) \text {. } \)
(a) Berechnen Sie \( M \vec{n} \). Es sei \( \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} \) ein zu \( \vec{n} \) orthogonaler Vektor. Bestimmen Sie \( M \vec{v} \).
(b) Welche geometrische Bewegung des Raums \( \mathbb{R}^{3} \) beschreibt die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{x} \mapsto M \vec{x} \) ?
(c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix \( M \) und die zugehörigen Eigenräume
\( \operatorname{Eig}_{M}(\lambda):=\left\{\vec{v} \in \mathbb{R}^{3} \mid\left(M-\lambda E_{3}\right) \vec{v}=0\right\} . \)
(d) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) zu \( f \), d.h.: es soll \( g(f(\vec{x}))=\vec{x}=f(g(\vec{x})) \) für alle \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{3} \) gelten.
Die Lösung zu einer Aufgabe gilt nur dann als vollständig, wenn der Lösungsweg klar erkennbar ist und alle Zwischenschritte sorgfältig mathematisch begründet sind.
