Eigenwerte/Vektoren/ Räume

Question

Im DMy Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Hausaufgabe $6.2$ (4 Punkte)
Es seien
$\vec{n}=\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \text { mit } a=1 / 2=-b, c=1 / \sqrt{2} \text { und } M=E_{3}-2 \vec{n} \vec{n}^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1-2 a^{2} & -2 a b & -2 a c \\ -2 a b & 1-2 b^{2} & -2 b c \\ -2 a c & -2 b c & 1-2 c^{2} \end{array}\right) \text {. }$
(a) Berechnen Sie $M \vec{n}$. Es sei $\vec{v} \in \mathbb{R}^{3}$ ein zu $\vec{n}$ orthogonaler Vektor. Bestimmen Sie $M \vec{v}$.
(b) Welche geometrische Bewegung des Raums $\mathbb{R}^{3}$ beschreibt die Abbildung $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{x} \mapsto M \vec{x}$ ?
(c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix $M$ und die zugehörigen Eigenräume
$\operatorname{Eig}_{M}(\lambda):=\left\{\vec{v} \in \mathbb{R}^{3} \mid\left(M-\lambda E_{3}\right) \vec{v}=0\right\} .$
(d) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung $g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ zu $f$, d.h.: es soll $g(f(\vec{x}))=\vec{x}=f(g(\vec{x}))$ für alle $\vec{x} \in \mathbb{R}^{3}$ gelten.

Die Lösung zu einer Aufgabe gilt nur dann als vollständig, wenn der Lösungsweg klar erkennbar ist und alle Zwischenschritte sorgfältig mathematisch begründet sind.

Comments

Scheint haargenau die gleiche Frage zu sein wie diese hier.