Untersuchen ob die Teilmenge von Vektorraum ein Unterraum ist

Question

Aufgabe:

U := {p∈ Pol_Q ; p = 0 V deg >= 3} ⊂ Pol_Q

Problem/Ansatz:

Komme nicht weiter..

Answer 1

Wenn ich es richtig verstehe, geht es darum, zu überprüfen, ob $U$ ein Unterraum ist.

Dafür muss man zeigen, dass für alle $\lambda\in\mathbb Q, v, w\in U$ gilt:

a) $\lambda v\in U$

b) $v+w\in U$

Dass a) erfüllt ist, sieht man relativ schnell: Ist $\lambda=0$ oder $v=0$, so ist auch $\lambda v=0$ und andernfalls ist der Grad weiterhin 3. (Warum genau das gilt, lasse ich noch übrig.) In allen Fällen liegt das Ergebnis also in $U$.

Betrachten wir nun b). Ist $v=0$ oder $w=0$, so ist das klar, da $v+w=v\in U$ oder $v+w=w\in U$ gilt. Bleibt also nur der Fall, wo $v,w\neq 0$. Ich behaupte jetzt, dass hier nicht zwingend $v+w\in U$ gilt. Am besten überlegt man sich, ob einem irgendwelche Polynome, z.B. mit Grad 3 einfallen, die addiert einen Grad kleiner als 3 haben, aber nicht 0 sind. Das wäre ja dann nicht in $U$, also dies auch kein Unterraum.