Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P(-4|6| 5) zur Ebene

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P(-4|6| 5)$ zur Ebene
$\begin{array}{l} E:-4 x+2 y+4 z+24=0 \\ d(P, E)= \end{array}$

Problem/Ansatz:

Kann mir hier bitte jemand erklären wie man auf die Lösung kommt ? Ich verzweifle an der Aufgabe .. gerne mit Rechnenweg :*

Comments

Hier:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/abstand-punkt-zu-ebene.ht…

Answer 1

Hallo,

Der Abstand eines Punktes $\mathrm{P}\left(p_{1}\left|p_{2}\right| p_{3}\right)$ zu einer Ebene $E$

$E:\; n_{1} x+n_{2} y+n_{3} z=a$

ist gegeben durch:

$d(P ; E)=\displaystyle \frac{\left|n_{1} p_{1}+n_{2} p_{2}+n_{3} p_{3}-a\right|}{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}} .$

Hier also

$d(P ; E)=\displaystyle \frac{\left|(-4)\cdot (-4)+2\cdot 6+4\cdot 5+24\right|}{\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}+4^{2}}}\\ =\frac{\left|16+12+20+24\right|}{\sqrt{16+4+16}}=\frac{72}{6}=12\\$

Gruß, Silvia

Answer 2

Hallo

die Gleichung n*x=d  (Hessische Normalform) mit n Einheitsvektor gibt den Abstand d zum 0 Punkt

damit kennt man auch den Abstand zu jedem Punkt.

siehe auch : https://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform#Abstand_

Gruß lul