Stammfunktion bilden/Integral lösen

Question

Aufgabe: Hallo!

Es geht hier um dieses Integral. Wie löse ich dieses Integral? Der Rechner substituiert u= x/2 , aber wieso? Wir haben im Nenner x²/4 stehen. Von wo kommt dieses x/2? Ich kann mir nicht erklären, wie man auf arctan(x/2) kommt. Ich hab zwar den Rechenweg, aber diesen kann ich nicht nachvollziehen.

Problem/Ansatz:

$\int \frac{2}{x^{2}+4} d x=\arctan \left(\frac{x}{2}\right)$

Answer 1

Aloha :)

Das folgende Standard-Integral kannst du als bekannt voraussetzen:$$\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+\text{const}$$

Diese Form des Integranden ist unser Ziel. Also bauen wir unseren Integranden um:$$I=\int\frac{2}{x^2+4}\,dx=\int\frac{2}{4\left(1+\frac{x^2}{4}\right)}=\frac12\int\frac{1}{1+\left(\frac x2\right)^2}\,dx$$Wir subsituieren: $u\coloneqq\frac x2\;;\;\frac{du}{dx}=\frac12$ bzw. $dx=2du$ und finden:$$I=\frac12\int\frac{1}{1+u^2}\,2du=\int\frac{1}{1+u^2}\,du=\arctan(u)+\text{const}=\arctan\left(\frac x2\right)+\text{const}$$

Comments

Super, vielen Dank! Falls im Nachhinein fragen auftauchen sollten, melde ich mich hier.