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Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe: Bestimme Real-, Imaginärteil, Betrag, Argument und die Polardarstellung!

Problem/Ansatz:

Ich hab da mal den Ansatz formuliert, aber kann das so stimmen? Wie muss ich da genau vorgehen?

(1)
\( \begin{array}{l} \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)-i \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ |z|=\sqrt{\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{2}+\left(\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{2}}=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \arg (z)=-\arccos \left(\frac{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)}\right) \end{array} \)

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Wie hast Du denn die Wurzelaufgelöst??

Mathhilf, sorry, hab deinen Kommentar erst jetzt gesehen, hab ihn davor gar nicht bemerkt.

Also ich hab die Wurzel falsch aufgelöst.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

vielleicht hilft ja:

|z|=1

π/6 = 30°

sin30°=0,5

cos30°=0,5•√3

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Warum ist z=1 ? Das check' ich noch nicht so

Daher nochmal die Frage: Nach welcher Regel hast Du die Wurzel bei der Berechnung des Betrags behandelt??

Kommt z=1 von cos^2(x)* sin^2(x) = 1 und deswegen ist auch cos^2(π/6) + sin^2(π/6)^2 =1 ? Stimmt der gedankengang?

Ja, das stimmt.

Du scheinst etwas gemacht zu haben, wie \(\sqrt{a^2+b^2}=a+b\). Du solltest Dir 5 Minuten Zeit nehmen, Dir so klar zu machen, dass das falsch ist, dass Dir das nie mehr passiert.

Kommt z=1 von cos^2(x)* sin^2(x) = 1

Nein.

cos^2(x) + sin^2(x)=1

Deswegen ist |z|=1. Beachte den Betrag!

Ohje

Ja, das stimmt.

Habe das erste Multiplikationszeichen in vorauseilender Hoffnung für ein + genommen.

Ich wollte auch plus hinschreiben, habe aber ausversehen ein mal hingeschrieben, sry.

Also jetzt ist mir klar, von wo die 1 kommt. Und ja, das war wirklich Unsinn was ich davor gerechnet hatte.

Und wie geht es dann weiter? Ich muss ja arg(z) berechnen. Soll ich dann so vorgehen? arg(z)= -arccos ( cos (π/6) / 1 ) ?

Durch Hingucken: arg(z) = - π/6.

cos(x)=cos(-x)

- sin(x) = sin(-x)

:-)

Zeichne Dir die Zahl z in die "Gaußsche Ebene" ein. Dann solltest du erkennen, dass der Winkel \(-\pi/6\) ist. Du solltest erkennen, dass der Winkel in dieser Darstellung unmittelbar gegeben ist und nicht "berechnet" werden braucht. Siehe auch die erste Antwort.

Das versteh‘ ich noch nicht. Ich weiß nur ungefähr, dass cos(pi/6) zwischen pi und pi/2 liegt, also zwischen 0 und 90 °. Aber warum arg(z) = -π/6 ist, kann ich nicht nachvollziehen.

Hallo,

die Polarform lautet

\(z = |z|\cdot e^{i\varphi}\)

und kann umgeformt werden zu

\(z = |z|\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)\)

Das sieht doch schon fast so aus wie der gegebene Term.

\(\cos(\pi/6) - i\sin(\pi/6)\)

Nun stört nur noch das Minuszeichen.

Mit

cos(x)=cos(-x)

- sin(x) = sin(-x)

erhältst du \(\varphi=-\pi/6\).

Zu deinem Kommentar:

Das versteh‘ ich noch nicht. Ich weiß nur ungefähr, dass cos(pi/6) zwischen pi und pi/2 liegt, also zwischen 0 und 90 °.

cos(pi/6) liegt nicht zwischen pi und pi/2. Das ist Tüdelkram. :-)

Du weißt hoffentlich:

180°=π

Wenn du das durch 6 dividierst, erhältst du

30°=π/6

Super, vielen vielen Dank! Ich rechne es schnell nach und melde mich erneut bei Fragen.

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