Berechnen Sie für solche x den Grenzwert.

Question

Für welche \( x \in \mathbb{R} \) konvergiert die Potenzreihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n x^{n} \) ? Berechnen Sie für solche \( x \) den Grenzwert.
Hinweis: Cauchy-Produkt.

Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe

Kann mir, wer bitte einen Ansatz zeigen

LG

Answer 1

Statt Cauchy-Produkt schlage ich folgendes vor: (Beachte: Da das erste Glied der Reihe Null ist, kann der Index n bei 1 starten.)

$$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n = x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} =x \left( \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)^{\prime} = x\left(\frac 1{1-x}\right)^{\prime} = \frac {x}{(1-x)^2}$$

Konvergenzradius R = 1 ist einfach zu ermitteln. Die Reihe ist für \(x= \pm 1\) nicht konvergent, also gilt obige Gleichheit für \(-1<x<1\).