Folgen auf Konvergenz untersuchen, ggf. mit Grenzwert

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenwert \( a=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \).

(i) \( a_{n}=\frac{7 n^{5}(n !+1)\left(n^{3}-n^{2}\right)}{\left(n^{3}+2\right)\left(n^{5}+\sqrt{n+1}\right) n !} \)

(ii) \( a_{n}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}(2 i-1)}{\sum \limits_{j=1}^{n} 2 j} \)

(iii) \( a_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}} \).

Ansatz:

Bei (i) verwirrt mich das Fakultätszeichen und bei (ii) das Summenzeichen mit dem Bruch.

Ich komme nicht weiter. Würde einer, eine Aufgabe ausführlich durch berechnen? Zur Veranschaulichung.

Answer 1

Hallo

i)dividiere Zähler und Nenner durch n^8 und n!

die Terme ohne n! erst ausmultiplizieren. dann siehst du die Konvergenz-

ii ) das sind einfache arithmetische summen ausrechnen und dann siehst du es.

iii die Summanden sind ab n^2>k  größer als 1/√(2n^2)= 1/√2* 1/n und du weisst dass die Summe über 1/n divergiert.

fu musst etwas mehr mit den Folgen rumspielen etwa durch n mit dem größten Exponenten kürzen, Zähler und Nenner vereinfachen, mit bekannten Reihen vergleichen.

Comments

Also, so ungefähr ??

\( a_{n}=\frac{7 n^{5}(n !+1)\left(n^{3}-n^{2}\right)}{\left(n^{3}+2\right)\left(n^{5}+\sqrt{n+1}) n !\right.} \)

\( =\frac{7 n^{8}\left(n !+\frac{1}{n}\right)\left(1-n^{2}\right)}{n^{8}\left(1+\frac{2}{n}\right)(1+\sqrt{n+1}) n !} \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n !+\frac{1}{n}\right)\left(1-n^{2}\right)}{\left(1+\frac{2}{n}\right)(1+\sqrt{n+1}) n !} \)

\(= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}-n}{\left(1+n^{2}\right)(1+\sqrt{n+1})} \)

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Ehrlich gesagt, kann ich Deine REchnung nicht nachvollziehen.

Bei der ersten Gleichung scheinst Du aus der letzten Klammer im Zähler n^3 aufgeklammert zu haben, dann verbliebe aber (1-1/n)? Woher kommt das 1/n bei n!

ähnlich im Nenner.

Ich sehe auch nicht, wie Du das n! gekürzt hast