Stetigkeit, Funktion, Analysis

Question

Hallo

Kann jemand die Frage lösen.

Gegeben sei f : R→R mit

Text erkannt:

$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\Large\frac{4 x^{2}}{|x-1|} & \text { für } & x \leqslant-1 \text { oder } x \geqslant 2 \\\\ a x+b & \text { für } & x \in(-1,2)\end{array}\right.$

Wie müssen a und b ausgewählt werden , damit f stetig ist?

Answer 1

Es muss gelten:

$$f(-1) = 2 = -a+b$$

$$f(2) = 16 = 2a + b$$
Jetzt bestimme damit a und b.

Answer 2

Aloha :)

Damit eine Funktion an einer Stelle $x_0$ stetig ist, müssen der links- und rechtsseitige Grenzwert gegen $x_0$ gleich dem Funktionswert an der Stelle $x_0$ sein.

Bei der Funktion$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{4x^2}{|x-1|}&\text{für } x\le-1\;\lor x\ge2\\ax+b &\text{für }-1<x<2\end{array}\right.$$haben wir zwei kritische Übergangsstellen, eine bei $x_0=-1$ und eine bei $x_1=2$.

Die Stetigkeit bei $x_0=-1$ fordert:$$\lim\limits_{x\nearrow-1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow-1}\frac{4x^2}{|x-1|}=\frac{4\cdot(-1)^2}{|-1-1|}=2$$$$f(-1)=\frac{4\cdot(-1)^2}{|-1-1|}=2$$$$\lim\limits_{x\searrow-1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow-1}(ax+b)=a\cdot(-1)+b=\pink{-a+b\stackrel!=2}$$

Die Stetigkeit bei $x_1=2$ fordert:$$\lim\limits_{x\searrow2}f(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\frac{4x^2}{|x-1|}=\frac{4\cdot2^2}{|2-1|}=16$$$$f(2)=\frac{4\cdot2^2}{|2-1|}=16$$$$\lim\limits_{x\nearrow2}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}(ax+b)=a\cdot2+b=\pink{2a+b\stackrel!=16}$$

Die beiden pinken Gleichungen werden gelöst durch $\pink{a=\frac{14}{3}}$ und $\pink{b=\frac{20}{3}}$.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 4x²/abs(x-1)·((x<=-1)+(x>=2))f₂(x) = (14/3·x+20/3)·(x>-1)·(x<2)Zoom: x(-3…4) y(0…20)P(-1|2)P(2|16 )