Aloha :)
Damit eine Funktion an einer Stelle \(x_0\) stetig ist, müssen der links- und rechtsseitige Grenzwert gegen \(x_0\) gleich dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) sein.
Bei der Funktion$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{4x^2}{|x-1|}&\text{für } x\le-1\;\lor x\ge2\\ax+b &\text{für }-1<x<2\end{array}\right.$$haben wir zwei kritische Übergangsstellen, eine bei \(x_0=-1\) und eine bei \(x_1=2\).
Die Stetigkeit bei \(x_0=-1\) fordert:$$\lim\limits_{x\nearrow-1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow-1}\frac{4x^2}{|x-1|}=\frac{4\cdot(-1)^2}{|-1-1|}=2$$$$f(-1)=\frac{4\cdot(-1)^2}{|-1-1|}=2$$$$\lim\limits_{x\searrow-1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow-1}(ax+b)=a\cdot(-1)+b=\pink{-a+b\stackrel!=2}$$
Die Stetigkeit bei \(x_1=2\) fordert:$$\lim\limits_{x\searrow2}f(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\frac{4x^2}{|x-1|}=\frac{4\cdot2^2}{|2-1|}=16$$$$f(2)=\frac{4\cdot2^2}{|2-1|}=16$$$$\lim\limits_{x\nearrow2}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}(ax+b)=a\cdot2+b=\pink{2a+b\stackrel!=16}$$
Die beiden pinken Gleichungen werden gelöst durch \(\pink{a=\frac{14}{3}}\) und \(\pink{b=\frac{20}{3}}\).
~plot~ 4x^2/abs(x-1)*((x<=-1)+(x>=2)) ; (14/3*x+20/3)*(x>-1)*(x<2) ; [[-3|4|0|20]] ; {-1|2} ; {2|16} ~plot~
