Bestimmen Sie für alle λ ∈ R eine Basis von ker f .

Question

Aufgabe:

Zu λ ∈ R sei die lineare Abbildung f : R3 → R3 gegeben durch
f (x, y, z) = (λx − λy, (1 − λ) x + y + λz, λx + λz) .
(a) Bestimmen Sie für alle λ ∈ R eine Basis von ker f .
(b) Bestimmen Sie eine Basis vom Bild von f im Fall f (4, 4, −4) = 0.

Problem/Ansatz;

Macht bei a eine Fallunterscheidung sinn für Lamda?

Und bei der b bin ich etwas überfragt was man da jetzt von möchte.

Basis von Kern und Bild bestimmen ist eigentlich klar, aber die Aufgabe verwirrt mich sehr.

Answer 1

Du könntest die lineare Abbildung auch als Matrix schreiben:

$$A =\begin{pmatrix} \lambda & -\lambda & 0 \\ 1-\lambda & 1 & \lambda \\ \lambda & 0& \lambda\end{pmatrix}$$

Es ist

$$\det A =2\lambda^2(1-\lambda)$$

Das heißt, nur für $\lambda = 0$ und $\lambda = 1$ ist $\ker f \neq \{o\}$.

$\lambda = 0$:

$$A =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0\end{pmatrix}\Rightarrow x=-y \text{ und } z \text{ beliebig}$$

$$\Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \\z\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} -1\\1 \\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 0\\0 \\1\end{pmatrix}$$

Basis von $\ker f:\: \left\{\begin{pmatrix} -1\\1 \\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0 \\1\end{pmatrix}\right\}$

$\lambda = 1$:

$$A =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\\ 1& 0& 1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}\Rightarrow y=-z, x=y$$

$$\Rightarrow \begin{pmatrix} x\\y \\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix} -1\\-1 \\1\end{pmatrix}$$

Basis von $\ker f:\: \left\{\begin{pmatrix} -1\\-1 \\1\end{pmatrix}\right\}$

(b) $\begin{pmatrix} 4\\4\\-4 \end{pmatrix}$ liegt nur in $\ker f$ für $\lambda = 1$.

Da das Bild von f von den Spalten der Matrix A aufgespannt wird, musst du nur zwei unabhängige Spalten von A wählen:

Basis von Bild von f (für $\lambda = 0$) zum Beispiel: $\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\right\}$

Comments

Vielen Dank! Aber wieso liegt der in ker f für lamda = 0?

Er kann doch auch für lamda =1 aufgespannt werden?

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Oh. Ich hab mich beim Scrollen verguckt.
$\begin{pmatrix} 4\\4 \\ -4\end{pmatrix}$ liegt natürlich nur in ker f für $\lambda = 1$.

Ich korrigiere das noch schnell wenn es geht.

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Ah ok verstehe glaube ich

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Alles gut. Kann passieren!!!!! Vielen Dank!!!!!!!!

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Aber eine Frage hätte ich noch. Mir ist zwar bewusst, dass das eine Basis ist, allerdings muss ich einen denkfehler haben. Wenn ich probiere (4,4,-4) mit (1,0,1) und (-1,1,0) aufzuspannen geht das nicht. Wieso? Die Antwort ist richtig auf alle Fälle aber irgendwas muss ich noch nicht ganz verstehen

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Du versuchst jetzt den Vektor mit der Basis vom Bild aufzuspannen.

Das hat mit der Aufgabe gar nichts zu tun.

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Ok vielen DAnk !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Hallo

Fallunterscheidung für λ=0 und λ=1

b) setz doch die 4 Komponenten ein, was kommt aber für x,y,z raus?

Gruß lul

Comments

das bei der a habe ich so sehr gut.

kannst du b etwas genauer beschreiben?

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Hallo

I. λ(x-y)=4

II. λ((x+z)=4 

daraus λ(z+y)=0 wegen I: λ≠0 also z+y=0

und so weiter

lul

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ah ok. wieso muss 4 etc die lösung sein und nicht 0?

wir haben ja f(4,4,-4) und das wäre doch x=4 y=4 z=-4 oder nicht?

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Hallo

dicker Fehler von mir! tut mir leid, vergiß den Kommentar.und setz für x,y,z ein und dann die einzelnen Komponenten =0

Gruß lul

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Alles gut. Ja genau das habe ich auch gemacht und dann kommt lamda gleich 1 raus und jetzt? :D