Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U:=\left\{p ∈ \operatorname{Pol}ℝ3 ; p(1)=0\right\} .

Question

Es bezeichne $\operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{3}:=\left\{p \in \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}} ; \operatorname{deg}(p) \leq 3\right\}$ den Raum der reellen Polynome mit Grad höchstens drei. Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums $U:=\left\{p \in \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{3} ; p(1)=0\right\}$.

Answer 1

Die Polynomdivision $(ax^3 + bx^2 + cx + d):(x-1)$ liefert den Rest $0$.

Comments

Und was soll man sich jetzt darunter vorstellen, wenn der Rest 0 ist

---

es existiert eine Nullstelle und somit ein Untervektorraum

---

Die Polynomdivision liefert dir einen Term für den Rest.

Diesen setzt du = 0 und bekommst dadurch eine Gleichung, die die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ erfüllen müssen, damit

        $ax^3 + bx^2 + cx + d \in U$

ist.

Die Gleichung kannst du dann verwenden um eine Basis von $U$ zu bestimmen.

---

Dankeschön aber ich kann Basen nur bestimmen, wenn Vektoren gegeben sind. Mit Polynomen weiß ich leider nicht, wie ich da vorgehen soll

---

Wie sieht deine Gleichung aus?

---

ax³ + bx² + cx + d = 0

---

Der Term

        $ax^3 + bx^2 + cx + d$

ist nicht der Rest der Polynomdivision

        $(ax^3 + bx^2 + cx + d):(x-1)$.

---

also der Polynomdivisionsrechner liefert:

x² + 2x + 3 + (4) / (x-1)

---

Dann irrt sich der Polynomdivisionsrechner oder du hast nicht das richtige in den Polynomdivisionsrechner eingegeben.

---

ich habe:

x³ + x² + x + 1 / (x-1) 

in den Rechner eingegeben

---

Du sollst aber die Polynomdivision

      $(ax^3 + bx^2 + cx + d)/(x-1)$

ausführen und nicht die Polynomdivision

      $(x^3 + x^2 + x + 1)/(x-1)$.

---

das habe ich ja schon versucht, aber dann zeigt er mir das an:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

---

Dann musst du die Polynomdivision wohl von Hand berechnen. Oder ein richtiges Computeralgebrasystem verwenden.

das habe ich ja schon versucht, aber dann zeigt er mir das an:

"Dann gebe ich halt etwas anderes ein, dass mit meinem Problem vieleicht überhaupt nichts zu tun hat" ist keine gute Lösungsstrategie

---

also das Polynom : x³ - 6x² - x + 6 / (x-1)

liefert: x² - 5x - 6 und den Rest 0 ist das jetzt korrekt?

---

Du sollst aber die Polynomdivision

        $(ax^3 + bx^2 + cx + d)/(x-1)$

ausführen und nicht die Polynomdivision

        $(x^3 - 6x^2 - x + 6)/(x-1)$.

Insbesondere sollst du nicht die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ durch irgendwelche Zahlen ersetzen.

---

ok dann weiß ich nicht mehr weiter sorry

---

Dann lies dir mal diese Antwort durch.

---

Endlich mal eine vernünftige Hilfe. Vielen Dank!

---

 (ax³ + bx²   +  cx   +   d) : (x - 1) = ax² + (a+b)x + (a+b+c)
-(ax³ - ax²)
------------
    (a+b)x²
  -((a+b)x - (a+b)x))
  ------------------
           (a+b+c)x
         -((a+b+c)x - (a+b+c))
         ---------------------
                      a+b+c+d

Der Rest der Polynomdivision

        $(ax^3 + bx^2 + cx + d)/(x-1)$

ist $a+b+c+d$.

Gleich $0$ setzen ergibt

         $a+b+c+d = 0$.

Nach $d$ auflösen ergibt

         $d = -(a+b+c)$.

Jedes Polynom in $U$ hat also die Form

        $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx - (a+b+c)$.

Umformen ergibt

        $p(x) = a(x^3-1) + b(x^2 - 1) + c(x-1)$.

Ein Polynom ist deshalb genau dann in $U$, wenn es sich als Linearkombination der Poylnomoe $x^3 - 1$, $x^2 - 1$ und $x-1$ schreiben lässt.

---

okay vielen Dank :)

---

Danke das hat uns auch sehr geholfen.

Wir struggeln auch mit den HA für LiNa :))))

Jetzt habe ich es endlich verstanden.