Aloha :)
Wie formen den folgenden Term gemeinsam um:$$\phantom=\frac{(x^2y)^2}{x^{-1}y^2}\div\frac{(x^{-2}y^2)^2}{(x^3y)^2}$$
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:$$=\frac{(\red{x^2}\green y)^{\pink2}}{x^{-1}y^2}\cdot\frac{(\red{x^3}\green y)^{\pink2}}{(\red{x^{-2}}\green{y^2})^{\pink2}}$$
Es gilt \((\red a\cdot \green b)^{\pink c}={\red a}^{\pink c}\cdot{\green b}^{\pink c}\). Damit ziehen lösen wir die Klammern auf:$$=\frac{(\red{x^2})^{\pink2}\green y^{\pink2}}{x^{-1}y^2}\cdot\frac{(\red{x^3})^{\pink2}\green y^{\pink2}}{(\green{x^{-2}})^{\pink2}(\green {y^2})^2}$$
Es gilt \((a^b)^c=a^{b\cdot c}\). Damit lösen wir die mehrfachen Potenzen auf:$$=\frac{x^{2\cdot2}y^2}{x^{-1}y^2}\cdot\frac{x^{3\cdot2}y^2}{x^{(-2)\cdot2}\cdot y^{2\cdot2}}=\frac{x^4y^2}{\pink{x^{-1}y^2}}\cdot\frac{x^6y^2}{\green{x^{-4}y^4}}$$
Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt. Damit lassen wir alle Faktoren aus dem Nenner in den Zähler springen. Die Nenner sind dann 1 und können weggelassen werden:$$=x^4y^2\pink{x^1y^{-2}}\cdot x^6y^2\green{x^4y^{-4}}$$
Es gilt \(a^b\cdot a^c=a^{b+c}\). Damit fassen wir die Potenzen zusammen:$$x^{4+1+6+4}\cdot y^{2-2+2-4}=x^{15}\cdot y^{-2}$$Der Exponent von \(y\) ist negativ, wir lassen den Faktor daher in den Nenner springen:$$=\frac{x^{15}}{y^2}$$
