Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Du suchst dir also die kleinste Zahl an lin. unabhÀngigen Vekoren, mit der sich alle Elemente in deinen RÀumen darstellen lassen:
Bei deinem Raum U gelten die Bedingungen x1-x2=x3 und x2=x3. Setze einfch mal x3=a mit aââ.
Dann gilt fĂŒr die zweite Bedingung x2=a und fĂŒr die erste Bedingung x1-a=a â x1=2a. Deine Werte sind alle von dem gleichen Wert a abhĂ€ngig.
Du erhÀltst den Vekor \( \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ a \end{pmatrix} \).
Dein a kannst du z.B. gleich 1 setzen, der Wert ist aber eigetlich egal wegen der Skalarmultiplikation, damit erhÀltst du deinen Basisvekor.
Es folgt das deine Basis der Vekor \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) ist.
Bei dem Raum V gehtst du genauso vor, aber der Wert x4 ist nicht von den anderen abhÀngig.
Mit etwas Rechnen (wie oben) erhĂ€ltst du fĂŒr den ersten Vekor deiner Basis \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) (oder ein beliebiges Vielfaches).
Da aber x4 frei ist, brauchst du noch einen zweiten Basisvekor wie zum Beispiel \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Deine Basis fĂŒr V ist \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Das wendest du jetzt einfach auch auf die anderen beiden RĂ€ume an :)