Bestimmen Sie mittels Gauß-Algorithmus die Lösungsmenge (Basis des Kerns)

Question

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich habe ungefähr verstanden was gewollt ist, weiß aber nicht wie diese Aufgabe zu lösen ist.

Aufgabe:

Bestimmen Sie mittels Gauß-Algorithmus die allgemeine Lösung (x₁, . . . , x₅) ∈ C⁵ des folgenden Gleichungssystems:

i · x₁ + 2x₂ + (1 + i) x₃ − i · x₄ + 4x₅ = 2i + 3
2i · x₁ + 5x₂ − 2x₃ − 2i · x₄ + (2 − i) x₅ = i

Geben Sie die Lösungsmenge als affinen Vektorraum an und folgern Sie daraus eine Basis
des Kerns ker(LA) der durch A induzierten linearen Abbildung LA.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bei dieser Aufgabe ist es mit dem Lösen des Gleichungssystems leider noch nicht getan. Aber fangen wir erstmal damit an. Dazu erzeugen wir mittels Gauß-Operationen so viele Spalten wie möglich, die genau eine $1$ und sonst nur $0$en enthalten:$$\begin{array}{rrrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & = & \text{Operation}\\\hline i & 2 & 1+i & -i & 4 & 3+2i &\\2i & 5 & -2 & -2i & 2-i & i &-2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline i & 2 & 1+i & -i & 4 & 3+2i &-2\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -4-2i & 0 & -6-i & -6-3i &\\\hline i & 0 & 9+5i & -i & 16+2i & 15+8i&\cdot(-i)\\0 & 1 & -4-2i & 0 & -6-i & -6-3i &\\\hline \pink1 & 0 & 5-9i & -1 & 2-16i & 8-15i&\\0 & \pink1 & -4-2i & 0 & -6-i & -6-3i &\end{array}$$Das Ergebnis stellen wir nach "pinken" Einsen um:$$x_1=(8-15i)-(5+9i)x_3+x_4-(2-16i)x_5$$$$x_2=(-6-3i)-(-4-2i)x_3-(-6-i)x_5$$und geben alle Lösungen in vektorieller Form an:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(8-15i)-(5+9i)x_3+x_4-(2-16i)x_5\\(-6-3i)+(4+2i)x_3+(6+i)x_5\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-15i\\-6-3i\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\pink{\begin{pmatrix}-(5+9i)\\4+2i\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+x_4\pink{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+x_5\pink{\begin{pmatrix}-(2-16i)\\6+i\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$$

Bei der Bestimmung des Kerns, stehen in dem Gleichungssystem in der "$=$"-Spalte lauter Nullen. Daher erhalten wir dasselbe Ergebnis bis auf den führenden Anker-Vektor. Eine Basis des Kerns bilden daher die 3 pinken "Richtungsvektoren" des affinen Vektorraums.

Rechne bitte sicherheitshalber nochmal nach, nicht dass ich mich in einem Vorzeichen vertan habe.

Answer 2

Worin bestehen Deine Schwierigkeiten?

Erstelle die Zeilenstufenform Rref_Ab

$Rref_{Ab} \, := \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&5 - 9 \; i&-1&2 - 16 \; i&8 - 15 \; i\\0&1&-4 - 2 \; i&0&-6 - i&-6 - 3 \; i\\\end{array}\right)$

und stelle die Lösungsmenge ab....

Comments

Mein erstes Problem besteht darin, dass wir 5 Unbekannte haben und nur 2 Gleichungen. Ich habe bereits versucht Lösungen für die Unbekannten zu bekommen. Diese bestehen dann aber wieder aus den anderen Unbekannten.

Ich denke zu wissen was eine Basis des Kerns ist, aber (Problem 2) ich wüsste nicht wie ich die Lösungen der Unbekannten als affinen Vektorraum aufschreibe und daraus eine Basis des Kerns folgere.

Das ist die erste Aufgabe in der ich so etwas tun soll und ich wüsste dafür nicht Mal einen Ansatz.

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Schreib doch erstmal die Lösung der RRef ab, definiere die freien Variablen für x1,x2 = ...

Der Kern, also die über die freien Variablen definierte Basis läßt sich leicht an der RRef ablesen

$\left\{ Rref = \left(\begin{array}{rr}id_{r}&K_{r}\\0&0\\\end{array}\right)→ Kern= \left(\begin{array}{r}K_{r}\\-id_{n-r}\\\end{array}\right) \right\}$