Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ ℝ \ {0}, in welche f stetig ist

Question

Aufgabe:
Es sei:

\(f:\mathbb{R} \left\{0\right\} \rightarrow \mathbb{R},\text{    }f(x):= x\text{ }sin (\frac{1}{x})\)

Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ ℝ \ {0}, in welchen f stetig ist.
Besitzt f eine stetige Fortsetzung in x₀ = 0?
Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:
Wie löse ich die Aufgabe?
Habe keinen Ansatz
Danke :)

Answer 1

\(x\mapsto 1/x\) ist stetig in allen \(x\neq 0\); denn wir haben hier z.B.

den Satz, dass jede rationale Funktion überall stetig ist außer in den

Nullstellen des Nenners.

Da \(x\mapsto \sin(x)\) in ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist, ist dann auch

\(x\mapsto \sin(1/x)\) als Hintereinanderausführung stetiger Funktionen in \(x\neq 0\)

stetig und damit auch \(f\) als Produkt stetiger Funktionen.

Comments

Hey erstmal vielen dank :)
Gibt es wegen \(x\mapsto 1/x\), dann auch keine stetige Fortsetzung in \( \sin(1/x)\) mit x0 = 0 ?

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Doch, für f gibt es die! Für sin(1/x) jedoch nicht.

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Ich verstehe nicht ganz, warum es für f eine stetige Fortsetzung gibt, wenn \( \sin(1/x)\) in x = 0 nicht stetig ist

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Habe es verstanden, hat sich geklärt

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Wenn \I(x_n\) eine Nullfolge mit \(x_n\neq 0\)  ist, ist \(\sin(1/x_n)\)

eine beschränkte Folge. Das Produkt aus einer Nullfolge und einer

beschränkten Folge ist eine Nullfolge. Man setze also \(f\) in 0

durch \(f(0)=0\) fort und diese Fortsetzung ist überall stetig.

Ah. Sehe gerade, dass du es selbst herausbekommen hast.