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Aufgabe:
Es sei:

f : R{0}R, f(x) : =x sin(1x)f:\mathbb{R} \left\{0\right\} \rightarrow \mathbb{R},\text{ }f(x):= x\text{ }sin (\frac{1}{x})

Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ ℝ \ {0}, in welchen f stetig ist.
Besitzt f eine stetige Fortsetzung in x0 = 0?
Begründen Sie Ihre Antwort.


Problem/Ansatz:
Wie löse ich die Aufgabe?
Habe keinen Ansatz
Danke :)

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Beste Antwort

x1/xx\mapsto 1/x ist stetig in allen x0x\neq 0; denn wir haben hier z.B.

den Satz, dass jede rationale Funktion überall stetig ist außer in den

Nullstellen des Nenners.

Da xsin(x)x\mapsto \sin(x) in ganz R\mathbb{R} stetig ist, ist dann auch

xsin(1/x)x\mapsto \sin(1/x) als Hintereinanderausführung stetiger Funktionen in x0x\neq 0

stetig und damit auch ff als Produkt stetiger Funktionen.

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Hey erstmal vielen dank :)
Gibt es wegen x1/xx\mapsto 1/x, dann auch keine stetige Fortsetzung in sin(1/x) \sin(1/x) mit x0 = 0 ?

Doch, für f gibt es die! Für sin(1/x) jedoch nicht.

Ich verstehe nicht ganz, warum es für f eine stetige Fortsetzung gibt, wenn sin(1/x) \sin(1/x) in x = 0 nicht stetig ist

Habe es verstanden, hat sich geklärt

Wenn \I(x_n\) eine Nullfolge mit xn0x_n\neq 0  ist, ist sin(1/xn)\sin(1/x_n)

eine beschränkte Folge. Das Produkt aus einer Nullfolge und einer

beschränkten Folge ist eine Nullfolge. Man setze also ff in 0

durch f(0)=0f(0)=0 fort und diese Fortsetzung ist überall stetig.


Ah. Sehe gerade, dass du es selbst herausbekommen hast.

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