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Aufgabe: Ordne den gegebenen  Graphen folgende Funktionsterme zu:

i(x)= x²-4x+2

k(x)=-0,25(x-2)²-2


Problem/Ansatz: Ich kann jetzt zwar keine Graphen einblenden, aber wie bekomme ich zum Beispiel die Scheitelpunkte oder die Nullstellen dieser Terme, um sie mit den der Graphen zu vergleichen.

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i(x) ist eine verschobene Normalparabel, die bei y=2 die y-Achse schneidet.

i(x)=x^2-4x+2

=x²-2•2x+2²-2²+2

=(x-2)²-2 → S1(2|-2)

Nullstellen:

0=x²-4x+2

x=2±√(4-2)=2±√2

-------

k(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt S2(2|-2) ist.

k(x) hat keine Nullstelle.

Beide Parabeln haben den gleichen Scheitelpunkt.

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Wie kommt man auf den Scheitelpunkt von k(x) ?

Den kannst du ablesen.

Eine Parabel mit der Scheitelpunktform \(y=a(x-d)^2+e\) hat den Scheitelpunkt S (d | e)

Ach, so. Danke. Und wie kommt man darauf, dass i(x) einen y-Achsenabschnitt von 2 hat?

Wenn du für 0 für x einsetzt, ist das Ergebnis 2.

Bei Gleichungen der Form \ï(f(x)=ax^2+bx+c\) ist c der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Und wie kriegt man den Scheitelpunkt von i(x) raus?

Ich habe meine Antwort ergänzt.

z.B. mit der Quadratischen Ergänzung

Vielen Dank! Meine letzte Frage wäre, ob man die Nullstellen beider Terme mit der pq- Formel lösen könnte.

Das kannst du. k(x) musst du vorher noch von der Scheitelpunkt- in die Normalform umwandeln.

vorher noch von der Scheitelpunkt- in die Normalform umwandeln

Das ist gar nicht nötig.

0=-0,25(x-2)²-2     |+2

2=-0,25(x-2)²         |•(-4)

-8=(x-2)² → Keine Nullstelle!

Also:

k(x)=-0,25(x-2)²-2

k(x)= -0,25(X²-4x+4) -2

k(x)= -0,25x²+x-1-2

k(x)=-0,25x²+1x-3

Und dann kann man die pq- Formel anwenden.

Für die pq-Formel muss der Faktor vor x² gleich 1 sein.

Soll ich dann den Term aus dem letzten Rechenschritt einfach mit -4 erweitern oder wie macht man das?

Erst gleich Null setzen und dann mit (-4) multiplizieren.

Warum gleich null setzen, ich muss ja bei einem Term mit der Scheitelpunktform auch nur die pq- Formel anwenden?

Schau dir Montys Rechnung nochmal an, er hat den Term auch = 0 gesetzt, denn das beinhaltet die Normalform von quadratischen Gleichungen, s. auch

\( x^{2}=0 \)
\( x^{2}+q=0 \)
\( x^{2}+p x=0 \)
\( x^{2}+p x+q=0 \)

Und bei der 4. Variante wendest du die pq-Formel an.

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Ordne den gegebenen Graphen folgende Funktionsterme zu.

Nutze doch einfach mal direkt das, was du ablesen kannst

i(x) = x² - 4x + 2

i ist eine nach oben geöffnete Normalparabel, die den y-Achsenabschnitt mit der Steigung -4 bei y = 2 schneidet.

Du kannst auch noch andere Werte für x einsetzen, um Fallunterscheidungen zu anderen Graphen zu treffen.

k(x) = -0,25(x - 2)² - 2

k ist eine nach unten geöffnete gestauchte Parabel, welche den Scheitelpunkt bei (2 | -2) besitzt.

Da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt, kann die Parabel keine Nullstellen haben.

Du kannst auch hier noch andere Werte für x einsetzen, um Fallunterscheidungen zu anderen Graphen zu treffen.

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