Gibt es eine explizite Formel (ohne Rekursion) für die Folge (an)n ∈ ℕ+?

Question

Text erkannt:

Es sei $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{+}}$die rekursiv definierte Folge mit
$a_{1}=\frac{1}{2} \quad \text { und } \quad a_{n+1}=\frac{1}{2-a_{n}} .$
Untersuchen Sie, ob die Folge wohldefiniert, monoton steigend, monoton fallend, nach oben beschränkt oder nach unten beschränkt ist. Geben Sie gegebenenfalls eine obere Schranke, eine untere Schranke und den Grenzwert an. Gibt es eine explizite Formel (ohne Rekursion) für die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}+}$ ?

Aufgabe:

oben

Problem/Ansatz: Ich verstehe die Aufgabe nicht; wie gehe ich am besten vor?

Comments

$\large a_n=\frac n{n+1}\$ könnte passen.

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Schreib dir die ersten Glieder auf.

Vlt. fällt dir etwas dabei auf.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge:$$a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}\quad;\quad a_1\coloneqq\frac12$$

Die ersten Glieder:$$a_2=\frac{1}{2-\frac12}=\frac{1}{\frac32}=\frac23\quad;\quad a_2=\frac{1}{2-\frac23}=\frac{1}{\frac43}=\frac34\quad;\quad a_4=\frac{1}{2-\frac34}=\frac{1}{\frac54}=\frac45$$legen die Vermutung für folgende explizite Formel nahe:$$\pink{a_n=\frac{n}{n+1}}\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$

Wir beweisen ihre Gültigkeit durch vollständige Induktion.

Verankerung bei $n=1$:$$a_n=a_1=\frac12=\frac{1}{1+1}=\frac{n}{n+1}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$:$$a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}=\frac{1}{2-\frac{n}{n+1}}=\frac{n+1}{2(n+1)-n}=\frac{n+1}{n+2}=\frac{(n+1)}{(n+1)+1}\quad\checkmark$$

Damit ist die explizite Formel bewiesen und die Folge wohldefiniert.

Für die Differenz benachbarter Folgenglieder gilt:$$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2}{(n+2)(n+1)}-\frac{n(n+2)}{(n+2)(n+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{n^2+2n+1}{(n+2)(n+1)}-\frac{n^2+2n}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0$$Daher ist $a_{n+1}>a_n$ für alle $n\in\mathbb N$, sodass die Folge streng monoton steigt.

Wegen der Montonie ist die Folge durch das Minimum $a_1=\frac12$ nach unten beschränkt.

Wegen $n<n+1$ ist $a_n=\frac{n}{n+1}<1$ durch den Wert $1$ nach oben beschränkt.

Der Grenzwert der Folge lautet:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$

Answer 2

Hallo

 1. rechne die ersten paar an aus, dann siehst du a) steigend oder fallend,  obere Grenze,  b) eine explizite Formel. Wenn du Monotonie und eine Grenze hast folgt Konvergenz den GW kann man dann berechnen weil man an+1=g=an setzen kann.

Monotonie  mit Induktion  obere Grenze  1 direkt.

Gruß lul