Lösung Mittelwert satz verständniss

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie ln(1+x) < x

Lösung:

Sei $x>0$ beliebig und
$\begin{aligned} h:[0, \infty) & \rightarrow \mathbb{R}, \\ z & \mapsto h(z):=\ln (1+z)-z \cdot(1 \mathbf{}) \end{aligned}$
Die Funktion $h$ ist stetig auf $[0, x]$, als eine Komposition der auf $[0, x]$ stetigen Funktionen . $h$ ist auch differenzierbar auf $(0, x)$, als eine Komposition der auf $(0, x)$ differenzierbaren Funktionen.
Somit erhalten wir nach dem Mittelwertsatz , dass es ein $\xi \in(0, x)$ gibt mit
$h^{\prime}(\xi)=\frac{h(x)-h(0)}{x-0}(\mathbf{})$
Da $h^{\prime}(\xi)=-\frac{\xi}{\xi+1}$ und $\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\frac{\ln (x+1)}{x}-1$, folgt
$\begin{array}{l} h^{\prime}(\xi)=\frac{h(x)-h(0)}{x-0} \\ \Leftrightarrow-\frac{\xi}{\xi+1}=\frac{\ln (x+1)}{x}-1 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{\xi+1}=\frac{\ln (x+1)}{x} \end{array}$
Weil $\xi>1$, gilt $\frac{1}{\xi+1}<1$ und somit ln (1+x)<x

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Letze Begründung/schritt (Fett markiert) nicht ganz? müsst da nicht stehen ξ>0.

und warum können wir aus 1/ξ+1< 1 folgern, dass die Ungleichung gilt?

Weil wir auf beiden Seiten 1 addiert haben und somit die Ableitung der Hilfsfunktion monoton fallend ist? oder was sagt mir das <1?

Answer 1

Hallo ja es ist nur ξ>0 und damit ξ+1>1  (da ist ein Abschreibefehle passiert ),  damit hat man

ln(x+1)/x<1 mit x>0 multipliziert  die gesuchte Ungleichung.

Gruß lul

Comments

Dank dir :)

jetzt ist alles klar.

Wäre ein anderer (leichterer) Lösungsweg zu zeigen, dass h(0)=0 und h(x)  monoton fällt da h`(x)<0 für x>0 ?