Aufgabe:
Zeigen Sie ln(1+x) < x
Lösung:
Sei \( x>0 \) beliebig und
\( \begin{aligned} h:[0, \infty) & \rightarrow \mathbb{R}, \\ z & \mapsto h(z):=\ln (1+z)-z \cdot(1 \mathbf{}) \end{aligned} \)
Die Funktion \( h \) ist stetig auf \( [0, x] \), als eine Komposition der auf \( [0, x] \) stetigen Funktionen . \( h \) ist auch differenzierbar auf \( (0, x) \), als eine Komposition der auf \( (0, x) \) differenzierbaren Funktionen.
Somit erhalten wir nach dem Mittelwertsatz , dass es ein \( \xi \in(0, x) \) gibt mit
\( h^{\prime}(\xi)=\frac{h(x)-h(0)}{x-0}(\mathbf{}) \)
Da \( h^{\prime}(\xi)=-\frac{\xi}{\xi+1} \) und \( \frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\frac{\ln (x+1)}{x}-1 \), folgt
\( \begin{array}{l} h^{\prime}(\xi)=\frac{h(x)-h(0)}{x-0} \\ \Leftrightarrow-\frac{\xi}{\xi+1}=\frac{\ln (x+1)}{x}-1 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{\xi+1}=\frac{\ln (x+1)}{x} \end{array} \)
Weil \( \xi>1 \), gilt \( \frac{1}{\xi+1}<1 \) und somit ln (1+x)<x
Problem/Ansatz:
Ich verstehe die Letze Begründung/schritt (Fett markiert) nicht ganz? müsst da nicht stehen ξ>0.
und warum können wir aus 1/ξ+1< 1 folgern, dass die Ungleichung gilt?
Weil wir auf beiden Seiten 1 addiert haben und somit die Ableitung der Hilfsfunktion monoton fallend ist? oder was sagt mir das <1?
