Kritische Punkte von Funktion mit mehreren Variablen.

Question

Hallo, ich muss die kritischen Punkte folgender Funktion berechnen:

f : R² → R mit f(x, y) := (4x² + y²) exp(−x² − 4y²)

Die partiellen Ableitungen hab ich schon gebildet und beide gleich 0 gesetzt, jedoch komme ich ab da nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich das ausrechnen kann. Könnte jemand helfen?

LG

Answer 1

Aloha :)

Den Gradienten hast du ja schon bestimmt. Ich habe raus:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{-2xe^{-x^2-4y^2}(4x^2+y^2-4)}{-2ye^{-x^2-4y^2}(16x^2+4y^2-1)}$$An den kritischen Punkten müssen beide Komponenten $0$ sein.

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, heißt das:$$\red{x(4x^2+y^2-4)=0}\quad\text{und}\quad \green{y(16x^2+4y^2-1)=0}$$

Wir machen folgende Fallunterscheidung:

1. Fall: $x=0$

Die rote Gleichung ist erfüllt. Die grüne Gleichung wird zu:$$\green{y(4y^2-1)=0}\implies y=0\;\lor\;y=\pm\frac12$$Dieser Fall liefert also 3 kritische Punkte: $(0|0)$, $(0|-\frac12)$ und $(0|\frac12)$

2. Fall: $y=0$

Die grüne Gleichung ist erfüllt. Die rote Gleichung wird zu:$$\red{x(4x^2-4)=0}\implies x=0\;\lor\;x=\pm1$$Dieser Fall liefert wieder 3 kritische Punkte $(0|0)$, $(-1|0)$ und $(1|0)$.

3. Fall $x\ne0$ und $y\ne0$

Wir können die rote Gleichung durch $x$ und die grüne Gleichung durch $y$ dividieren:$$\red{4x^2+y^2=4}\quad\text{und}\quad \green{16x^2+4y^2=1}$$Wenn beide Gleichungen gültig sein sollen, erhalten wir$$\green{1=16x^2+4y^2}=4\cdot(\red{4x^2+y^2})=4\cdot\red4=16$$einen Widerspruch, sodass dieser Fall keine weiteren kritischen Punkte liefert.

Wir fassen alle 5 gefundenen kritischen Punkte zusammen:$$\left(0|0\right)\quad;\quad\left(0\bigg|\pm\frac12\right)\quad;\quad(\pm1|0)$$

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Dankeschön:)