Ich gehe davon aus, dass bei Euch \(e=\exp(1)\) über die Exponential-Reihe definiert ist.
Zur ersten Ungleichung:
$$(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}\frac{1}{n^k}=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \frac{n!}{n^k(n-k)!} \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} =e$$
Noch ein genauer Blick auf die letzte Ungleichung:
$$ \frac{n!}{n^k(n-k)!}=\frac{n}{n}\;\frac{n-1}{n}\;\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n+1-k}{n}\;\frac{n-k}{n-k}\;\frac{n-k-1}{n-k-1}\cdots\frac{2}{2}\;\frac{1}{1}$$
Die ersten Faktoren lassen sich nach oben durch 1 abschätzen, die hinteren kürzen sich weg.
Zur zweiten Abschätzung. Aufgrund des Hinweises schauen wir auf
$$\exp(\frac{1}{n+1})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k \leq \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=1+\frac{1}{n}$$
