Ich versuche es mal mit einer Antwort.
Die Fälle auf der rechten Seite sind jeweils Sonderfälle der allgemeinen Definition, und zwar für den Fall \(x_n=x_0\), \(x_n>x_0\),\(x_n<x_0\) - jeweils für alle \(n \in \N\). Daher ist die Schlussfolgerung "links nach rechts" klar.
Wenn jetzt umgekehrt eine Folge \(x_n\) in D gegeben ist mit \(x_n \to x_0\), dann Teilen wir \(\N\) in drei paarweise disjunkte Teilmengen auf, M,R,L, die jeweils die natürlichen Zahlen n enthalten mit \(x_n=x_0\), \(x_n>x_0\) beziehungsweise \(x_n<x_0\). Aufgrund der Voraussetzung gilt:
(1) Wenn R unendlich ist, so folgt \(f(x_n) \to c\) für \(n \in R, n \to \infty\)
(2) Wenn L unendlich ist, so folgt \(f(x_n) \to c\) für \(n \in L, n \to \infty\)
Wenn ein \(\epsilon>0\) gegeben ist, dann existiert ein \(\epsilon\)-Schwellenindex \(N_R\) im Falle (1) und ein \(\epsilon\)-Schwellenindex \(N_L\) im Falle (2). Für \(n \geq \max\{N_R,N_L\}\) oder \(n \geq N_R\) oder \(n \geq N_L\) gilt dann \(|f(x_n)-c| <\epsilon\)
