Es sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable auf einem W-Raum (Ω, A, P) der Form f(x)= k (1 / x2 )

Question

Es sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable auf einem W-Raum (Ω, A, P)
mit einer Dichte f : R → R der Form

f(x)= k * 1 /(1+ x²)  für x ∈ R

Mit einem gewissen k ∈ R

Bestimme:

a) den Parameter k,
b) die kummulative Verteilungsfunktion von X,
c) die Wahrscheinlichkeiten P(2 ≤ X ≤ 4) und P(X ≤ 3),
d) den Erwartungswert und die Varianz von X.

Ich bräuchte hier Hilfe

Danke!:)

Comments

Ist die Aufgabe vollständig?

Wie soll man k bestimmen ohne einen Gleichung aufstellen zu können?

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Ne so wie die Aufgabe da steht ist sie komplett..

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Es ist eine der definierenden Eigenschaften einer Dichte, dass $\int_{\mathbb{R}}k\frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x=1$. Du musst also $k$ so bestimmen, dass das Integral $=1$ ist. Die Dichte ist für $x=0$ nicht definiert und das o. g. Integral konvergiert nicht. Daher scheint hier etwas faul zu sein.

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Text erkannt:

Aufgabe $6.3$
Es sei $X$ eine kontinuierliche Zufallsvariable auf einem W-Raum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ mit einer Dichte $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ der Form
$f(x)=k \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \quad \text { für } x \in \mathbb{R}$
mit einem gewissen $k \in \mathbb{R}$. Bestimmen Sie
a) den Parameter $k$,
b) die kummulative Verteilungsfunktion von $X$,
c) die Wahrscheinlichkeiten $P(2 \leq X \leq 4)$ und $P(X \leq 3)$,
d) den Erwartungswert und die Varianz von $X$.

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Fehler gefunden

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Antwort gegeben

Answer 1

Es ist eine der definierenden Eigenschaften einer Dichte, dass $\int_{\mathbb{R}}k\frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=1$. Du musst also $k$ so bestimmen, dass das Integral $=1$ ist. Man spricht manchmal in dem Kontext von einer Normierungskonstante.

Es gilt:$$\int_{\mathbb{R}}k\frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=k\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=k(\arctan(\infty)-\arctan(-\infty))=k\pi =1 \Rightarrow k=\frac{1}{\pi}$$ Das ist die Standard-Cauchy-Verteilung. Dort findest du alle Informationen, die dich interessieren.

Überdies berechnet man bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeiten mit der Dichte:$$P(2\leq X\leq 4)=\frac{1}{\pi}\int \limits_{2}^{4}\frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x=1/\pi(F(4)-F(2))=?$$ Viel Erfolg.