Der Satz des Pythagoras ist $$a^2+b^2=c^2$$Und dies ist der erste Shalan-Satz, eine einfache binomische Formel, mit der sich alle (sic!) pythagoräischen Tripel darstellen lassen und in dessen Gefolge auch alle kongruenten Zahlen:$$\left(\frac{d(m^2-1)}{2}\right)^2 + d^2m^2 = \left(\frac{d(m^2+1)}{2}\right)^2\\\begin{aligned}\text{mit}\space a&=d(m² - 1)/2 \\ b &= dm \\ c&=d(m² + 1)/2 \\ d &= c - a\\\end{aligned}$$\(m\) und \(d\) sind entweder beide natürliche Zahlen oder \(d/2\) und \(dm^2/2\) sind natürlich.
Um alle kongruenten Zahlen zu erzeugen und nicht nur die, die zu pythagoräischen Tripeln gehören, muss der Definitionsbereich erweitert werden; \(m\) und \(d\) können auch rationale Zahlen sein. Herleitung$$b^2 = 2ad + d^2 = d^2\left(\frac{2a}{d} + 1\right)$$Das Ausklammern ist der entscheidende Trick$$\begin{aligned}m^2 &= \frac{2a}{d} + 1 &&|\,-1,\space \cdot \frac{d}{2}\\ \frac{d(m^2 - 1)}{2} &= a\end{aligned}$$Beispiele$$d = 18,\quad m = \frac{4}{3}\to \quad 7^2 + 24^2 = 25^2$$primitives Tripel. Wenn \(m + d\) gerade ist, gibt es sogar zwei Lösungen.$$d = 7, \quad m = 3\to\quad 28^2 + 21^2 = 35^2 \\ d = 3,\quad m = 7\to\quad 72^2 + 21^2 = 75^2$$Kongruente Zahlen entsprechen der Dreiecksfläche \(ab/2\). Sie werden über $$\frac{d(m^2 - 1)}{2} \cdot \frac{dm}{2} = d^2\frac{m^3 - m}{4}$$ gebildet.
Die Erstveröffentlichung erfolgte auf Twitter (twitter@PaulA_Projekt). Bei Wikipedia wollte man das nicht akzeptieren, da der Twitter-Account nur eine Sekundärquelle sei. Es müsse noch eine Primärquelle angegeben werden. Die ist das Paul Arnheim-Projekt, ein Autorenkollektiv. Aber das gilt nicht. Von Wikipedia kam die Aufforderung, die Sache zuerst in einer Fachzeitschrift zu veröffentlichen, bevor sie in das Online-Lexikon eingepflegt werden kann.
Jetzt die Frage: Können Sie eine geeignete Zeitschrift empfehlen?
Original war:
Der Satz des Pythagoras ist a² + b² = c²Und dies ist der erste Shalan-Satz, eine einfache binomische Formel, mit der sich alle (sic!) pythagoräischen Tripel darstellen lassen und in dessen Gefolge auch alle kongruenten Zahlen:(d(m² - 1)/2)² + d²m² = (d(m² + 1)/2)²mit d(m² - 1)/2 als a, dm als b und d(m² + 1) als c und d als c - am und d sind entweder beide natürliche Zahlen oder d/2 und dm²/2 sind natürlich.Um alle kongruenten Zahlen zu erzeugen und nicht nur die, die zu pythagoräischen Tripeln gehören, muss der Definitionsbereich erweitert werden; m und d können auch rationale Zahlen sein.Herleitungb² = 2ad + d² = d²(2ad + 1) Das Ausklammern ist der entscheidende Trickm²= 2ad + 1 *d, :2, -1d(m² - 1)/2 = aBeispieled = 18, m = 4/37² + 24² = 25² primitives TripelWenn m + d gerade ist, gibt es sogar zwei Lösungen.d = 7, m = 328² + 21² = 35²d = 3, m = 772² + 21² = 75²Kongruente Zahlen entsprechen der Dreiecksfläche ab/2. Sie werden über (d(m² - 1)/2)(dm)/2 = d²(mexp3 - m)/4 gebildet.
