zeigen die Kurvenintegral

Question

Aufgabe:

Sei $f(z)$ eine komplexe Funktion und $z \cdot f(z)$ beschränkt, d.h. $\exists C>0,|z \cdot f(z)| \leq C, \forall z \in \mathbb{C}$. Man betrachte die Kurve: den Halbkreis in der oberen Halbebene $C_{R}: \gamma(\varphi)=R \cdot e^{i \varphi}, \varphi: 0 \rightarrow \pi$ und das Kurvenintegral $\int \limits_{C_{R}} e^{i \omega z} f(z) d z$ mit $\omega>0$.
Zeigen Sie:
a) $\left|\int \limits_{C_{R}} e^{i \omega z} f(z) d z\right| \leq C \int \limits_{0}^{\pi} e^{-\omega R \sin \varphi} d \varphi$,
b) $\int \limits_{0}^{\pi} e^{-\omega R \sin \varphi} d \varphi \leq \frac{\pi}{\omega R}\left(1-e^{-\omega R}\right)$,
c) $\lim \limits_{R \rightarrow \infty}\left|\int \limits_{C_{R}} e^{i \omega z} f(z) d z\right|=0$
Hinweis für b): es wird Ihnen helfen, wenn Sie zeigen können: $\sin \varphi \geq \frac{2}{\pi} \varphi$ in $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich die Aufgabe nicht verstanden.Kann jemand mir helfen ?! Und Danke im Voraus

Answer 1

Es ist $z= e^{i\phi}= \cos \phi + i\sin \phi$ mit $\phi \in\left[0, \pi \right]$.

(a)
$$\begin{array}{rcl} \left|\int \limits_{C_{R}} e^{i \omega z} f(z) d z\right| & = & \left| \int \limits_{0}^{\pi} e^{i \omega Re^{i\phi}} f(Re^{i\phi}) R e^{i\phi} d\phi \right| \\ & \stackrel{|zf(z)| \leq C}{\leq } & \int \limits_{0}^{\pi} \left|e^{i \omega R(\cos \phi + i\sin \phi)} f(Re^{i\phi}) R e^{i\phi}\right| d\phi \\ & \stackrel{|zf(z)| \leq C, |e^{i\omega R \cos \phi}|=1}{\leq } & C\int \limits_{0}^{\pi} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi \end{array}$$

(b)  Beachte:
Auf $\left[0, \pi \right]$ ist $\sin \phi$ symmetrisch bzgl. $\phi= \frac{\pi}2$. Daher gilt
$$\int \limits_{0}^{\pi} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi = 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}2} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi$$
Aufgrund der strengen Konkavität von $\sin \phi$ auf $\left[0, \frac{\pi}2 \right]$ liegt dort der Graph von $\sin \phi$ oberhalb der Geraden durch $(0,0)$ und $(\frac{\pi}2,1)$ für $\phi \in \left(0, \frac{\pi}2 \right)$. Das bedeutet
$$\sin \varphi \geq \frac{2}{\pi} \phi \text{ für } \phi \in \left[0, \frac{\pi}2 \right]$$
Also
$$\begin{array}{rcl} \int \limits_{0}^{\pi} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi & = & 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}2} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi \\ & \leq & 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}2} e^{- \omega R\frac 2{\pi}\phi} d\phi \\ & = & 2 \left(-\frac{\pi}{2\omega R}\right)\left[e^{- \omega R\frac 2{\pi}\phi}\right]_0^{\frac{\pi}2} \\ & = & \frac{\pi}{\omega R}\left(1-e^{- \omega R}\right) \end{array}$$
(c) ist nun Pippifax:
$$\left|\int \limits_{C_{R}} e^{i \omega z} f(z) d z\right| \stackrel{(a),(b)}{\leq} C\frac{\pi}{\omega R}\left(1-e^{- \omega R}\right) \stackrel{R\to\infty}{\longrightarrow}0$$