Zeigen Sie, dass es ein x \in[0,1] gibt mit f(x)=g(x) .

Question

Text erkannt:

a) Gegeben seien die Funktionen
\( \begin{array}{l} f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto e^{x} \cdot \arcsin (x) \\ g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \cos (\pi \cdot x)\left(x^{2}+1\right) \end{array} \)
Zeigen Sie, dass es ein \( x \in[0,1] \) gibt mit \( f(x)=g(x) \).
b) (i) Lesen Sie sich den Zwischentext im Skript nach Satz \( 10.8 \) zum Intervallhalbierungsverfahren durch.
(ii) Wir betrachten die Funktion \( h:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{4}+x^{3}-x^{2}-2 x-2 \). Bestimmen Sie mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahren näherungsweise eine Nullstelle von \( h \) bis auf einen Fehler von maximal \( \frac{1}{10} \) (d.h. ist \( x \) Ihre Näherung und \( x_{0} \) die tatsächliche Nullstelle, so muss \( \left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{10} \) gelten).

Comments

Wo liegt das Problem? Wobei brauchst du Hilfe?

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@racine_carrée ich verstehe die komplette Aufgabe nicht ist für mich neu. A) kommt mir bekannt vor aber es ist eine neue Schreibstil, sollte ich für die x 0 & 1 einsetzen?

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Definiere h(x) = f(x) - g(x). Berechne h(0) und h(1). Wende den Zwischenwertsatz an.
Schließe, dass es ein c gibt mit h(c) = 0. Daraus folgt f(c) = g(c) .

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Für die b) kannst du dich hier orientieren:

f ist ein reellles polynom, also stetig.

f(a)=f(0)=-2<0, f(b)=f(2)=14>0 wegen Zwischenwertsatz folgt: Es existiert im Intervall eine Nullstelle x₀ von f

Für das Intervall [0,2] gilt die Abschätzung \(|x-x_0|< \frac{b-a}{2^n}=\frac{2-0}{2^n}<0,1\) für n=5.

Führe also fünfmal die intervallhalbierung durch. Dieses Verfahren ist anscheinend in deinem Skript beschrieben, es handelt sich um einen Algorithmus.

Hoffe, dass ihr die Fehler-Abschätzung atsächlich im Skript hergeleitet habt :)

Answer 1

hallöchen, betrachte für die a)
f(x)-g(x)

Gilt für einen Punkt x in [0,1]: f(x)-g(x)=0?

x=0: f(0)-g(0)=-1 <0
x=1  e*arcsin(1)-cos(π)*2=0,5 *e *π+2>0

f und g sind stetig auf [0,1], also auch f-g , mit dem Zwischenwertsatz folgt somit, dass es ein c in [0,1] mit f(c)-g(c)=0 gibt...

b) habe gerade keine Zeit, die zu versuchen. Ansatz von dir wäre eigentlich auch nice :)

Comments

Sehr deutlicher Hinweis für b) in meinem Kommentar (Siehe oben).

Answer 2

Hallo :-)

Betrachtet man die Fehlerabschätzung bei der Intervallhalbierung/Bisektion, dann ergibt das \(|x-x_0|<\frac{b-a}{2^n}=\frac{2-0}{2^n}=\frac{2}{2^n}\stackrel{!}{<} 0.1\), was für \(n\in \N_{\geq 5}\) erfüllt ist. Also musst du mindestens fünf Iterationen durchführen:

1.) Betrachte Intervall \([0,2]\):

      \(f(0) \approx -2<0,\quad f(2) \approx 14>0\)

      Mitte vom Intervall \([0,2]\) ist \(m = 1.0 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -3.0<0\)

      ==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.

      ==> Das ergibt das neue Intervall \([1.0,2]\)
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2.) Betrachte Intervall \([1.0,2]\):

      \(f(1.0) \approx -3.0<0,\quad f(2) \approx 14>0\)

      Mitte vom Intervall \([1.0,2]\) ist \(m = 1.5 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 1.1875>0\)

      ==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

      ==> Das ergibt das neue Intervall \([1.0,1.5]\)
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3.) Betrachte Intervall \([1.0,1.5]\):

      \(f(1.0) \approx -3.0<0,\quad f(1.5) \approx 1.1875>0\)

      Mitte vom Intervall \([1.0,1.5]\) ist \(m = 1.25 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -1.66797<0\)

      ==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.

      ==> Das ergibt das neue Intervall \([1.25,1.5]\)
----------------------------------------


4.) Betrachte Intervall \([1.25,1.5]\):

      \(f(1.25) \approx -1.66797<0,\quad f(1.5) \approx 1.1875>0\)

      Mitte vom Intervall \([1.25,1.5]\) ist \(m = 1.375 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.46655<0\)

      ==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.

      ==> Das ergibt das neue Intervall \([1.375,1.5]\)
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5.) Betrachte Intervall \([1.375,1.5]\):

      \(f(1.375) \approx -0.46655<0,\quad f(1.5) \approx 1.1875>0\)

      Mitte vom Intervall \([1.375,1.5]\) ist \(m = 1.4375 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.29909>0\)

      ==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.

      ==> Das ergibt das neue Intervall \([1.375,1.4375]\)
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Also befindet sich im Intervall \([1.375,1.4375]\) mindestens eine Nullstelle. Näherungsweise Intervallmitte als Ergebnis:
1.40625