Zeigen Sie, dass die so definierte Relation eine Åquivalenzrelation auf M ist und bestimmen Sie die Faktormenge M / …

Question

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Aufgabe 2.
Sei \( M=\mathbb{Z} \). Wir definieren auf \( M \) die Relation:
\( x \sim y: \Leftrightarrow x+2 \cdot y \) ist durch 3 teilbar.
Zeigen Sie, dass die so definierte Relation eine Åquivalenzrelation auf \( M \) ist und bestimmen Sie die Faktormenge \( M / \sim \).

Hat jemand eine Idee wie ich hier weiterkomme?

Answer 1

Zeigen Sie, dass die so definierte Relation eine Åquivalenzrelation auf \( M \) ist

Reflexivität. Begründe warum x+2x durch drei teilbar ist.

Symmetrie. Begründe warum y+2x durch drei teilbar ist wenn x+2y durch drei teilbar ist.

Transitivität. Begründe warum x+2z durch drei teilbar ist wenn x+2y und y + 2z durch drei teilbar sind.

bestimmen Sie die Faktormenge \( M / \sim \).

Bestimme alle \(x\), so dass 0+2x durch drei teilbar ist. Das ist die Äquivalenzklasse [0].

Bestimme alle \(x\), so dass 1+2x durch drei teilbar ist. Das ist die Äquivalenzklasse [1].

Bestimme alle \(x\), so dass -1+2x durch drei teilbar ist. Das ist die Äquivalenzklasse [-1].

Bestimme alle \(x\), so dass 2+2x durch drei teilbar ist. Das ist die Äquivalenzklasse [2].

...

und so weiter bis du zu jeder ganzen Zahl die Äquivalenzklasse bestimmt hast. Die Faktormenge \( M / \sim \) ist die Menge aller Äquivalenzklassen.

Comments

Kannst du mir ein Beispiel dazu geben wie ich das begründe zb mit y+2x durch drei teilbar ist wenn x+2y durch drei teilbar ist.

Und wie meinst du das mit bis zu jeder ganzen Zahl die Äquivalenzklasse bestimmt ist?

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wenn x+2y durch drei teilbar ist.

Fall 1: y hat bei Division durch 3 den Rest 0. Bestimme den Rest von x bei Division durch 3. Begründe damit warum y+2x durch 3 teilbar ist.

Fall 2: y hat bei Division durch 3 den Rest 1. Bestimme den Rest von x bei Division durch 3. Begründe damit warum y+2x durch 3 teilbar ist.

Fall 3: y hat bei Division durch 3 den Rest 2. Bestimme den Rest von x bei Division durch 3. Begründe damit warum y+2x durch 3 teilbar ist.

Und wie meinst du das mit bis zu jeder ganzen Zahl die Äquivalenzklasse bestimmt ist?

Weil \(\sim\) eine Äquivalenzrelation ist, lässt sich \(M\) in disjunkte Mengen \(M_1, M_2, \dots\) aufteilen, so dass jedes \(x\in M\) Element von genau einem der \(M_i\) ist und jedes Element einer der \(M_i\) zu jedem anderen Element von \(M_i\) äquivalent ist.

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Tut mir leid ehrlich aber ich verstehe garnicht wie ich das machen soll. Könntest du mir lösungvorschläge machen?

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ZB:

Wenn x+2y durch 3 teilbar ist dann auch 2*(x+2y) = 2x+4y. Somit muss dann auch y+2x = (2x+4y) - 3y durch 3 teilbar sein.

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Zur Symmetrie:

Das geht einfacher ohne Fallunterscheidung.

Sicher ist, dass 3x+3y durch 3 teilbar ist.

Wenn nun x+2y durch 3 teilbar ist, dann ist auch die Differenz (3x+3y)-(x+2y) durch 3 teilbar...

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Vielen Dank und wie soll ich das bei der bestimmen Sie die Faktormenge \( M / \sim \). machen habe da kein Lösungs Ansatz gefunden könnt ihr mir da Beispiele geben?