Vektorraum linear abhängig

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum uber den Körper K. Sei
M ⊂ V und v ∈ V .

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
• Ist M l.u. und M ∪ {v} l.a., so gilt v ∈ lin M.
• Ist M eine maximal l.u. Teilmenge einer Teilmenge E ⊂ V , so ist
M ⊂ E ⊂ lin M

Problem/Ansatz:

ich brauche hilfe um diese Aufgabe zu beantworten

Answer 1

Ist M l.u. und M ∪ {v} l.a., so gilt v ∈ lin M.

M l.u. besagt ja:   $\sum \limits_{m∈M} a_m \cdot m = 0$ ==> a_m = 0 für alle m∈M

M ∪ {v} l.a. ==> Die Darstellung der 0 mit b, a_i ∈K
                   $b\cdot v + \sum \limits_{m∈M} a_m \cdot m = 0$

        gelingt mit mindestens einem Koeffizienten ≠ 0

 1. Fall  b=0  ==>   $\sum \limits_{m∈M} a_m \cdot m =0$ also

                       alle a_m = 0 .  Widerspruch!

2. Fall: b≠0  Dann multipliziere   $b\cdot v +\sum \limits_{m∈M} a_m \cdot m = 0$  mit b^-1

und erhalte   $v= \sum \limits_{m∈M} - b^{-1 }\cdot a_m \cdot m$

womit v als Lin. komb. der Elemente von M dargestellt ist, also v ∈ lin M.

Comments

Hallo, und wie wäre dir Antwort für den zweiten Punkt?

Ist M eine maximal l.u. Teilmenge einer Teilmenge E ⊂ V , so ist
M ⊂ E ⊂ lin M

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Das ist doch eine unmittelbare Folgerung aus dem ersten Teil?!