Zeigen Sie, dass f konstant ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $|f(x)-f(y)| \leq|x-y|^{2}$, für alle $x, y \in \mathbb{R}$. Zeigen Sie, dass $f$ konstant ist.

Frohes Neues Jahr!

Leider komme ich mit dieser Aufgabe nicht so gut zurecht und würde mich über jede Hilfe und jeden Ansatz freuen!

Comments

zeige f'(x)=0 , teile durch (x-y)

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Und vielleicht als weiterer Tipp: Schätze den Differentialquotient durch den Betrag nach oben ab und dann nochmal durch Betrag von x-y und dann im weitesten Sinne Sandwich-Satz anwenden :)

Answer 1

Noch nicht klar durch die Kommentare ?

Betrachte für beleiibiges x∈ℝ den Differenzenqoutienten

$\frac {f(x)-f(y)}{x-y}$ und überlege wie du dessen

Grenzwert für y gegen x bestimmen kannst.

Wegen $|f(x)-f(y)| \leq|x-y|^{2}$ gilt ja

 $\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq|x-y|$

==>   $| \frac {f(x)-f(y)}{x-y} | \leq|x-y|$

==>  $- |x-y| \leq \frac {f(x)-f(y)}{x-y} \leq|x-y|$

==>  $\lim \limits_{y \to x} (- |x-y|) \leq \lim \limits_{y \to x} \frac {f(x)-f(y)}{x-y} \leq \lim \limits_{y \to x} |x-y|$

==>  $\lim \limits_{y \to x} \frac {f(x)-f(y)}{x-y} =0$

==> f ist überall differenzierbar mit f ' (x) = 0

==>  f konstant.

Comments

Dankesehr für deine Hilfe!

Jetzt kann ich das sehr gut nachvollziehen