Zeigen Sie, dass ein s_{0} 0 existiert, so dass

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) stetig differenzierbar. Weiter sei \( x \in \mathbb{R}^{n} \) so gewählt, dass
\( f(x) \neq 0 \text { und } D f(x) \in \operatorname{GL}_{n}(\mathbb{R}) \text {. } \)
Wir setzen
\( d:=-D f(x)^{-1} f(x) . \)
Zeigen Sie, dass ein \( s_{0}>0 \) existiert, so dass
\( \|f(x+s d)\|<\|f(x)\| \)
für alle \( 0<s<s_{0} \) gilt.
Hinweis: Die Menge \( \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) bezeichnet die Menge der invertierbaren Matrizen in \( \mathbb{R}^{n, n} \). Diese Aufgabe zeigt, dass die Richtungen der Newton-Iteration Abstiegsrichtungen sind.

Problem/Ansatz:

Habe leider kein Plan wie ich vorgehen kann

Answer 1

Hallo,

die Aussage folgt aus einer Anwendung des Mittelwertsatzes - eventuell habt Ihr den in anderer Form notiert:

$$f(x+sd)=f(x)+\int_0^1Df(x+tsd)sd \;dt=\\f(x)+\int_0^1Df(x+tsd)sd \;dt+Df(x)(sd) -Df(x)(sd)$$

$$=(1-s)f(x)+\int_0^1 [Df(x+tsd)sd-Df(x)](sd) \;dt$$

Für die Abschätzung des Integrals benutzen wir die Stetigkeit der ersten Ableitung: Es existiert ein \(\delta>0\) mit:

$$\|h\|< \delta \Rightarrow \|Df(x+h)-Df(x)\| < \frac{\|f(x)\|}{\|d\|}$$

Dann gilt für \(0<s<s_0:=\delta/\|d\|\):

$$\|f(x+sd)\| < (1-s)\|f(x)\|+ \frac{\|f(x)\|}{\|d\|}s\|d\| = \|f(x)\|$$

Gruß Mathhilf