Funktionsgleichungen berechnen hilfe

Question

Aufgabe:

Ein Bowling Pin wurde aus einem 24cm hohen quaderförmigen Holzstück mit quadratischer Grundfläche mit der Seitenlänge 12cm gedrechselt. Die Grafik zeigt den halben Längenschnitt des Bowling Pins (Angaben in Zentimeter). Der Meridian setzt sich aus geradenstücken zund zwei Parabeln mit dem Scheitel S1 und S2 zusammen. Gib die Funktionsgleichungen an. Ich hätte S1 (4|6), S2(20|4) P/17|2,5) gegeben.

Ich muss danach die Masse berechnen. Mit der Rotationsformel. Das heißt ich brauch f(x)

Problem/Ansatz:

Ich habs zwar selber ein paar mal probiert, aber ich komm immer auf komplett andere Lösungen. Ich habs mit der Formel p(x) = ax^2+bx+c gemacht. LG

Comments

Zeige die Grafik.

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Hier das ist die Grafik. Hoffe die ist erkennbar (keine ahnung ob das Bild zu groß ist):

Answer 1

\(f(x)=\begin{cases} 6 & 0\leq x < 4\\ \frac{2,5-6}{(17-4)^2}(x - 4)^2 + 6 & 4\leq x < 17\\ \frac{2,5-4}{(17-20)^2}(x - 20)^2 + 4 & 17\leq x < 24\end{cases}\)

Comments

wie bist du auf das gekommen? ansich hab ich die lösungen ja

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Scheitelpunktform: Die Parabel

        \(p(x) = a(x-d)^2 + e\)

hat den Scheitelpunkt bei \((d| e)\).

Um \(a\) zu berechnen wird Punkt \(P\) verwendet.

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warum genau x -d?

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Für die Normalparabel \(f(x) = x^2\) gilt zum Beispiel \(f(7) = 49\). Die \(49\) wurden berechnet, indem die \(7\) quadriert wurde.

Wann wird denn bei der Funktion \(g(x) = (x-2)^2\) eine \(7\)  quadriert? Wenn man für \(x\) den Wert \(9\) einsetzt.

Das was die Funktion \(f\) an der Stelle \(7\) macht, das macht die Funktion \(g\) erst an der Stelle \(9\) (also zwei Stellen weiter rechts).

Die Funktion \(f\) hat den Scheitelpunkt bei \((0|0)\). Die Funktion \(g\) hat den Scheitelpunkt zwei Stellen weiter rechts, also bei \((2|0)\).

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Vielen Dank für die hilfe!

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Welche gleichung müsste ich dann aber verwenden wenn ich die Masse berechnen will? (mit dem rotationsgesetz)

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Berechne das Volumen mittels

        \(V=\pi \int\limits_{0}^{24}(f(x))^2\mathrm{d}x\).

Multipliziere das Volumen mit der Dichte des verwendeten Holzes.

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Aber ich verstehe nicht ganz, was davon jz f(x) sein soll.

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Was \(f(x)\) ist, steht in meiner Antwort.

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also wenn x zwischen 0 und 4 ist soll ich nur 6 verweden, und wenn es zwischen 4 und 17 ist soll ich halt die mittlere Formel nehmen? hab ich das richtig verstanden?

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Ja, das hast du richtig verstanden.

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eine letzte Frage noch: wenn ich jetzt aber ein Intervall von 4 - 20 berechnen will, welche formel würde ich dann nehmen?

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Verwende die Additivität von Integralen:

        \(\int\limits_4^{20}g(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_4^{17}g(x)\,\mathrm{d}x + \int\limits_{17}^{20}g(x)\,\mathrm{d}x \).

Für den ersten Summanden nimmst du den mittleren Term, für den zweiten Summanden den letzten Term.

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ok passt danke ^^