Beweis mit Binomischen Lehrsatz

Question

Ich bitte euch um Hilfe!

Bei diesen Aufgaben habe ich nicht einmal einen Ansatz… ich habe gerade mal so die Beweisführung zum Binomischen Lehrsatz verstanden, aber hier scheitere ich…

Wie muss man hier vorgehen, um auf eine Lösung zu kommen?

Vielen Dank für die Hilfe!!

Text erkannt:

Man beweise für alle $n \in \mathbb{N}$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes:
(a) $\sum \limits_{l=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ l\end{array}\right)=2^{n}$,
(b) $\sum \limits_{l=0}^{n}(-1)^{l}\left(\begin{array}{l}n \\ l\end{array}\right)=0$.

Answer 1

zu a) "Berechne" 2ⁿ in der Form(1+1)ⁿ mit dem binomischen Lehrsatz.

zu b) "Berechne" ((-1)+1)ⁿ mit dem binomischen Lehrsatz.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der binomische Lehrsatz lautet:$$(a+b)^n=\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}\cdot a^{n-\ell}\cdot b^\ell\quad(\ast)$$

Es gibt in der Algebra zwei Standardtricks, die jeder kennen sollte:

(1) Die Addition einer "Null"

(2) Die Multiplikation mit einer "Eins"

Hier hilft uns in beiden Fällen der 2-te Trick weiter:$$\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}=\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}\cdot\red{1^{n-\ell}}\cdot\green{1^\ell}\stackrel{(\ast)}{=}(\red 1+\green1)^n=2^n$$$$\sum\limits_{\ell=0}^n(-1)^\ell\binom{n}{\ell}=\sum\limits_{\ell=0}^n\binom{n}{\ell}\cdot\red{1^{n-\ell}}\cdot(-1)^\ell\stackrel{(\ast)}{=}(\red 1+(-1))^n=0^n=0$$

Comments

Ist nicht 2ⁿ = (1+1)ⁿ naheliegender ? Und 0=(1-1)ⁿ .

---

Ich musste das zum ersten Mal in einer Klausur in der 10-ten Klasse beweisen.

Da war die Multiplikation einer Eins für mich naheliegender.

Allerdings hatte ich nicht den Hinweis, dass der binomische Lehrsatz verwendet werden sollte.