Berechnen von invertierbaren Matrizen

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie ob folgende Matritzen ein Inverses besitzen, und berechnen Sie dann gegebenenfalls die inverse Matrix.

$\left(\begin{array}{ccc} -7 & -7 & -7 \\ 5 & 0 & 0 \\ 6 & -6 & -6 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ccc} 0 & 7 & 7 \\ 0 & -8 & 0 \\ 2 & 8 & 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ccc} 8 & -8 & -2 \\ 9 & -7 & -4 \\ -4 & 6 & 0 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 7 & 5 \\ 5 & -8 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) .$

Problem/Ansatz:

Wie genau beweist man ein Inverses und wie berechnet man eine inverse matrix

Comments

Wer schreibt denn sowas?

Answer 1

Ein Kriterium ist :

M invertierbar <=> det(M)≠0

Die erste Matrix wird durch:

3.Zeile   - 12/5 mal 2. Zeile zu

$\left(\begin{array}{ccc} -7 & -7 & -7 \\ 5 & 0 & 0 \\ -6 & -6 & -6 \end{array}\right)$

und wenn eine Zeile ein Vielfaches einer anderen ist, ist die Det=0.

Also 1. nicht inverteirbar.

Die 2. schon . Benutze für die Inverse

simultane Umformung mit der Einheitsmatrix, etwa so:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 7 & 7 &1&0&0\\ 0 & -8 & 0&0&1&0 \\ 2 & 8 & 1&0&0&1 \end{array}\right)$

1. und 3. Zeile tauschen

$\left(\begin{array}{ccc}\\ 2 & 8 & 1&0&0&1\\ 0 & -8 & 0&0&1&0\\ 0 & 7 & 7 &1&0&0 \end{array}\right)$

1.Z + 2. Z

$\left(\begin{array}{ccc}\\ 2 & 0 & 1&0&1&1\\ 0 & -8 & 0&0&1&0\\ 0 & 7 & 7 &1&0&0 \end{array}\right)$

2. Z durch -8

$\left(\begin{array}{ccc}\\ 2 & 0 & 1&0&1&1\\ 0 & 1 & 0&0&-0,125&0\\ 0 & 7 & 7 &1&0&0 \end{array}\right)$

3. Z. - 7* 2.Z

$\left(\begin{array}{ccc}\\ 2 & 0 & 1&0&1&1\\ 0 & 1 & 0&0&-0,125&0\\ 0 & 0 & 7 &1&0,875&0 \end{array}\right)$

3. Z. durch 7

$\left(\begin{array}{ccc}\\ 2 & 0 & 1&0&1&1\\ 0 & 1 & 0&0&-0,125&0\\ 0 & 0 & 1 &1/7&0,125&0 \end{array}\right)$

1.Z - 3.Z

$\left(\begin{array}{ccc}\\ 2 & 0 & 0&-1/7&0,875&1\\ 0 & 1 & 0&0&-0,125&0\\ 0 & 0 & 1 &1/7&0,125&0 \end{array}\right)$

Und noch 1.Z. durch 2

$\left(\begin{array}{ccc}\\ 1 & 0 & 0&-1/14&0,4375&0,5\\ 0 & 1 & 0&0&-0,125&0\\ 0 & 0 & 1 &1/7&0,125&0 \end{array}\right)$

Und dann ist rechts die Inverse.