Wie kommt man auf den Erwartungswert (rosa unterstrichen)?

Question

Hey,

die $X_\lambda$ sind poissonverteilt, könnt ihr mir vielleicht sagen, wie man auf den Erwartungswert bzw. das rosa Unterstrichene kommt? Das $M$ steht hier für Moment-generating function.

Text erkannt:

$\begin{aligned} \therefore & \lim \limits_{\lambda \rightarrow \infty} M_{\left(\frac{x_{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)}(t)=\lim \limits_{\lambda \rightarrow \infty} E\left(e^{\left(t \cdot \frac{x_{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)}\right) \\ \therefore & \lim \limits_{n \rightarrow \infty} M_{\left(\frac{x_{i} \lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)}(t)=\lim \limits_{\lambda \rightarrow \infty} e^{-t \sqrt{\lambda}} e^{\lambda\left(e^{(t / \sqrt{\lambda}}-1\right)}\end{aligned}$

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

VG

Answer 1

Das sieht nach einem Fehler aus.

Ich nehme mal $a$ statt $\lambda$, weil sich das schneller schreiben lässt.

$x_a$ ist also Poisson-verteilt mit Parameter $a$. Dann gilt

$E\left( e^{t\frac{x_a - a}{\sqrt a}} \right) = a \int_0^{\infty} e^{t\frac{x_a - a}{\sqrt a}}\cdot e^{-ax_a}\; dx_a = \frac{a\sqrt a}{a\sqrt a - t}e^{-x_a\sqrt a}$

Berechnung siehe hier.

Nachtrag zur Integration:

$a \int_0^{\infty} e^{t\frac{x - a}{\sqrt a}}\cdot e^{-ax}\; dx \stackrel{t\frac{x - a}{\sqrt a}= t\frac x{\sqrt a} - t\sqrt a}{=} a e^{-t\sqrt a}\int_0^{\infty} e^{t\frac{x}{\sqrt a}}\cdot e^{-ax}\; dx$

$= a e^{-t\sqrt a}\int_0^{\infty} e^{x\left(\frac{t}{\sqrt a}-a\right)}\; dx$

$\stackrel{\int_0^{\infty}e^{cx}\;dx =-\frac 1c\: (c<0)}{= } - a e^{-t\sqrt a}\frac 1{\frac{t}{\sqrt a}-a}$

$= \frac{a\sqrt a}{a\sqrt a - t}e^{-x\sqrt a}$

Comments

Hey:)

vielen Dank für deine Antwort. Tut mir leid wenn ich mich jetzt ganz blöd anstelle, aber kannst du vielleicht noch mal sagen, nach welcher Formel du auf das zweite "=" (mit dem Integral) kommst?

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Ich ergänz in ein paar Minuten noch einige Integrationsschritte in der Lösung.

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Vielen vielen Dank!

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Oh sorry, habe das gerade erst gesehen, vielen lieben Dank für deine Mühe! Das hilft sehr!