Das sieht nach einem Fehler aus.
Ich nehme mal \(a\) statt \(\lambda\), weil sich das schneller schreiben lässt.
\(x_a\) ist also Poisson-verteilt mit Parameter \(a\). Dann gilt
\(E\left( e^{t\frac{x_a - a}{\sqrt a}} \right) = a \int_0^{\infty} e^{t\frac{x_a - a}{\sqrt a}}\cdot e^{-ax_a}\; dx_a = \frac{a\sqrt a}{a\sqrt a - t}e^{-x_a\sqrt a}\)
Berechnung siehe hier.
Nachtrag zur Integration:
\(a \int_0^{\infty} e^{t\frac{x - a}{\sqrt a}}\cdot e^{-ax}\; dx \stackrel{t\frac{x - a}{\sqrt a}= t\frac x{\sqrt a} - t\sqrt a}{=} a e^{-t\sqrt a}\int_0^{\infty} e^{t\frac{x}{\sqrt a}}\cdot e^{-ax}\; dx\)
\(= a e^{-t\sqrt a}\int_0^{\infty} e^{x\left(\frac{t}{\sqrt a}-a\right)}\; dx\)
\( \stackrel{\int_0^{\infty}e^{cx}\;dx =-\frac 1c\: (c<0)}{= } - a e^{-t\sqrt a}\frac 1{\frac{t}{\sqrt a}-a}\)
\( = \frac{a\sqrt a}{a\sqrt a - t}e^{-x\sqrt a}\)
