Grenzwert von (x2 cos(1/x)/(sin(x))

Question

Aufgabe:
Berrechnen Sie den Grenzwert.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^{2}cos(1/x)}{sinx}$

Problem/Ansatz:

Wenn ich mit L'Hospital fortfahre bleibt doch der bruch (1/x) bestehen.
Wie kann ich es richtig lösen?

Comments

Vielleicht so: Für betragsmäßig hinreichend kleine $x$ gilt
$\displaystyle\left\lvert\frac{x^2\cos\tfrac1x}{\sin x}\right\rvert=\left\lvert x\right\rvert\cdot\left\lvert\frac x{\sin x}\right\rvert\cdot\left\lvert\cos\tfrac1x\right\rvert\le\left\lvert x\right\rvert\cdot2\cdot1=2\left\lvert x\right\rvert$.

Answer 1

Aloha :)

Mit L'Hospital kommst du hier nicht wirklich weiter:$$\phantom=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\cos\frac1x}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2x\cos\frac1x+\sin\frac1x}{\cos x}$$Der Nenner geht zwar danach gegen $1$, aber im Zähler konvergiert $(\sin\frac1x)$ nicht.

Daher führe vor L'Hospital folgende Abschätzung durch:$$\left|\cos\frac1x\right|\le1\implies\left|\frac{x^2}{\sin x}\right|\cdot\left|\cos\frac1x\right|\le\left|\frac{x^2}{\sin x}\right|$$Wende nun auf die rechte Seite L'Hospial an:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2x}{\cos x}=\frac{2\cdot0}{1}=0$$Damit ist klar, dass$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\cos\frac1x}{\sin x}=0$$

Comments

Vielen Dank :)
Aber ich vertehe nicht, wie man auf so eine Abschätzung kommt bzw. was wir eigentlich dadurch zeigen wollen

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Die Cosinus-Funktion liefert immer Werte zwichen $-1$ und $1$, völlig egal, welches Argument eingesetz wird. Daher gilt die Abschätzung:$$-1\le\cos\frac1x\le1\quad\text{bzw.}\quad\left|\cos\frac1x\right|\le1$$Wenn wir bei dieser Ungleichung nun beide Seiten mit $\left|\frac{x^2}{\sin x}\right|$ multiplizieren, können wir eine obere Schranke für unseren Grenzwert-Ausdruck angeben:$$\left|\cos\frac1x\cdot\frac{x^2}{\sin x}\right|\le\left|\frac{x^2}{\sin x}\right|$$

Dann haben wir gezeigt, dass diese obere Grenze gegen $0$ konvergiert, sodass auch der ursprüngliche Grenzwert-Ausdruck gegen $0$ konvergieren muss.

Answer 2

hallo

cos(1/x) ist beschränkt, als finde Mit L'Hopital den GW von x²/sin(x).

Gruß lul