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Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei L : V → V eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft L2 = L.
Zeigen Sie:
a) det(L) ∈ {0, 1}.
b) Ist λ∈K ein Eigenwert von L, so ist λ∈{0,1}.


Problem/Ansatz:

die Eigenschaft L2 = 2 beschränkt die Abbildung, sodass für det(L) nur {0,1} gilt. Logisch ist mir das soweit klar, nur scheitere ich am daran dies konkret zu zeigen, da ich mir unsicher bin, wie es es konkret machen kann.

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Wenn du eine Gleichheit der Form L^2=L hast, dann wende einfach mal auf beiden Seiten die Determinante an. Die Gleichheit bleibt bestehen. Dann nutze die Multiplikativität der Determinante

3 Antworten

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Beste Antwort

$$ \lambda v = Lv = L^2 v = \lambda^2 v $$

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Verwende den Determinantenproduktsatz

        \(\det(A\cdot B) = \det A \cdot \det B\).

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Für quadratische Matrizen gilt det(AB)=det(A)det(B).

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