Zeigen Sie, dass folgende Formel für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 1 gilt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Formel für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 1 \) gilt:

\(\displaystyle \sum \limits_{k=1}^{n}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]=n ! \)

Problem/Ansatz:

Wie ist hierbei vorzugehen?

Answer 1

Vollständige Induktion über \(n\).

Comments

Stimmt - eigentlich sehr trivial :)

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beim Induktionsschritt stoße ich jetzt noch auf ein Problem:

IH: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1}{[n \ über k]} = (n+1)! \)

IS: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1}{n+1 \ über \ k} = \sum \limits_{k=1}^{n}{[n \ über \ k]} + \sum \limits_{k=1}^{n+1}{[n \ über \ n+1]} = n! + \sum \limits_{k=1}^{n+1}{[n \ über \ n+1]} \)

Wie geht es weiter?