Stetige komplexe Funktionen im Einheitskreis

Question

Aufgabe:

Es sei \(\mathcal{S} := \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}\) der komplexe Einheitskreis sowie
$$ \mathcal{E} := \{z \in \mathbb{C} \ | \ \exists n \in \mathbb{N} \text{ mit } z^n = 1\} $$
die Menge der komplexen Einheitswurzeln.

Folgern Sie: Sind \(f,g : \mathcal{S} \rightarrow \mathbb{C}\) stetige Funktionen mit \(f|_{\mathcal{E}} = g|_{\mathcal{E}}\) so folgt \(f = g\).

Problem/Ansatz:

Ich finde es schwierig, für diese Aufgabe eine Beweis-Struktur aufzubauen. Könnte mir hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

Es genügt zu zeigen, dass die Einheitswurzeln \(\mathcal E\) dicht in \(\mathcal S\) liegen. Dann folgt sofort die Behauptung per Stetigkeit.

Der komplexe Einheitskreis kann zunächst wie folgt parametrisiert werden:

\(z = e^{2\pi i t},\:t \in [0,1]\)

Jede Einheitswurzel hat die Form

\(e^{2\pi i r}\) mir \(r=\frac kn \in \mathbb Q\) und \(0\leq k \leq n\).

Nun liegt \(\mathbb Q\cap [0,1]\) dicht in \([0,1]\). Also gibt es für jedes \(t \in [0,1]\) eine Folge rationaler Zahlen \(r_n \in [0,1]\) mit

\(\lim_{n\to\infty}r_n = t\)

Da \(e^z\) stetig ist, gibt es also für jedes \(z = e^{2\pi i t},\:t \in [0,1]\) eine Folge \(e^{2\pi i r_n} \in \mathcal E\) mit

\(\lim_{n\to\infty}e^{2\pi i r_n} = z\).

Damit liegt \(\mathcal E\) dicht in \(\mathcal S\).

Comments

Wie kann man aus "\(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) liegt dicht in \([0,1]\) folgern, dass es eine Folge für jedes \(z\) mit Grenzwert \(t\) existiert (gleiche Frage für die weitere Folge \(e^{2\pi ir_n}\) )?

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Ich hab leider auch nicht ganz verstanden, weshalb dies \(f=g\) impliziert

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\(\mathbb Q \cap [0,1]\) liegt dicht in \([0,1]\). Das bedeutet per Definition der Dichtheit, dass es zu jedem \(t\in [0,1]\) eine Folge \(r_n \in \mathbb Q \cap [0,1]\) gibt, mit \(\lim_{n\to\infty}r_n = t\).

\(e^z\) ist stetig, also gilt \(\lim_{n\to\infty}e^{2\pi ir_n} = e^{2\pi i t}\)

f und g sind stetig und simmen auf \(\mathcal E\) übereinstimmen. Sei nun \(z\in \mathcal S\). Dann gilt

\(f(z) = f\left(e^{2\pi i t}\right) = f\left(e^{2\pi i \lim_{n\to\infty}r_n}\right)\)

\( = \lim_{n\to\infty}f\left(e^{2\pi i r_n}\right) = \lim_{n\to\infty}g\left(e^{2\pi i r_n}\right)\)

\(g\left(e^{2\pi i \lim_{n\to\infty}r_n}\right) = g\left(e^{2\pi i t}\right) = g(z)\)