Wie war die Kundenverteilung zu Jahresbeginn?

Question

Aufgabe

Wie war die Kundenverteilung zu Jahresbeginn?

Die Stadtnachrichten und die Volkszeitung haben insgesamt zusammen 100 000 Käufer. Am Jahresende kauften 49500 Kunden die stadtnachrichten und 50500 die Volkszeitung. Dazu ist die Übergangsmatrix gegeben. Nun soll man die Kundenverteilung zu Jahresbeginn rechnen.

Problem/Ansatz:

Ich denke man kann das mit einer inversen Matrix berechnen, die hatten wir aber noch nicht deshalb weiß ich nicht wie das gehen soll.

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Answer 1

Angenommen, die Übergangsmatrix ist

\( \begin{pmatrix} 0,8 & 0,7 \\ 0,2 & 0,3 \end{pmatrix} \)

und der Zustandsvektor zu Jahresbeginn war \( \begin{pmatrix} s \\ v \end{pmatrix} \).

Dann muss \( \begin{pmatrix} 0,8 & 0,7 \\ 0,2 & 0,3 \end{pmatrix} \)·\( \begin{pmatrix} s \\ v \end{pmatrix} \).=\( \begin{pmatrix} 49500 \\ 50500 \end{pmatrix} \) gelten.

In der obigen Zeile steckt das Gleichungssystem

0,8s+0,7 v =  49500

0,2s + 0,3 v = 50500

Das kann man lösen und erhält so s und v.

Answer 2

Wenn du die Verteilung von einem Jahr zum nächsten rechnen willst, multiplizierst du ja

[a, b; c, d] * [49500; 50500] = [x, y]

Willst du jetzt von einem Jahr zum Vorjahr rechnen, stellst du das Gleichungssystem

[a, b; c, d] * [x; y] = [49500; 50500]

auf und löst nach x und y auf.

Probier das mal mit deiner Übergangsmatrix und melde dich, wenn noch Fragen sind.