Zeigen Sie, dass f: ℝ → ℝ stetig

Question

Text erkannt:

a) Zeigen Sie, dass \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x):=\left\{\begin{array}{cc} x \sin \frac{1}{x} & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 \end{array}\right. \)
im Nullpunkt stetig, aber nicht differenzierbar ist, und skizzieren Sie den Funktionsgraphen von \( f \).
b) Zeigen Sie, dass \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( g(x):=\left\{\begin{array}{cl} x^{2} \sin \frac{1}{x} & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 \end{array}\right. \)
differenzierbar ist, und berechnen Sie \( g^{\prime} \). Untersuchen Sie außerdem, ob \( g^{\prime} \) stetig ist.

Problem/Ansatz:

Eine genaue Lsg. dafür wäre sehr nett. Lerne nämlich für eine Klausur und es würde dann auch sehr hilfreich  sein. Vielen Dank.

Comments

Bei a) kannst du die Lösung überall im Internet finden. Sandwichkriterium etc. nutzen

Bei b) vermutlich auch

Standardaufgaben

Answer 1

Hallo

einfach den GW für x gegen 0 bestimmen, aber benutze dass sin eine beschränkte Funktion ist (|sin(a)|<=1)

b) GW des DifferenzenQuotienten  nur bei 0 sonst ist es als Komposition differenzierbare Funktionen  d.n.

lul

Answer 2

\(  \lim\limits_{x \to 0}  x \cdot sin(\frac{1}{x})  = 0 \) weil \(    sin(\frac{1}{x})  \) beschränkt.

Also f stetig bei 0.