Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms p(z)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms \( p \) mit
\( p(z)=z^{3}+8 \cdot z^{2}+21 \cdot z-82 \)
Hinweise:
- Geben Sie die Menge der Nullstellen in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.
- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit Fließkommazahlen an.

Könnte mir hier jemand Lösung + Weg verraten? :)

Answer 1

Hallo,

Durch raten bekommst Du z₁= 2 als eine Lösung.

Danach führe eine Polynomdivision durch:

(z^3  +  8z^2  + 21z - 82) : (z - 2)  =  z^2 + 10z + 41 
z^3  - 2z^2           
—————————————————————————
      10z^2  + 21z - 82
      10z^2  - 20z    
      ——————————————————
              41z - 82
              41z - 82
              —————————
                      0

-->
z^2 + 10z + 41 =0 -> z.B. pq-Formel

z_2,3=  -5 ± √(25 -41)

z_2,3= -5 ± √-16

z_2,3=  -5 ± 4i

Answer 2

Hallo,

die erste ganzzahlige Nullstelle N kann man recht einfach raten. Es ist nicht 0, 1 oder -1.

Dann p(z) mittels Polynomdivision, also p(z) : (z-N) auf Grad 2 bringen. Den Rest kannst du mit der pq Formel erledigen.

LG

EL

Comments

Könntest du mir die Lösung verraten? ich blick da nicht ganz durch...